[论文解读] Distributed coloring of graphs with an optimal number of colors

Étienne Bamas, Louis Esperet|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种分布式随机算法，在高概率下以多项式对数时间完成图的最优着色，使用 c ≥ Δ − kΔ + 1 种颜色对最大度 Δ 的图进行着色，其中 kΔ ≈ √Δ − 2。该算法在 min{O((log Δ)^{1/12} log n), 2^{O(log Δ + √log log n)}} 轮内运行，实现了最优的颜色数量和接近最优的轮数复杂度，且在 LOCAL 模型中，Δ − kΔ + 1 处存在一个尖锐的阈值，将可解问题与不可解问题区分开来。

ABSTRACT

This paper studies sufficient conditions to obtain efficient distributed algorithms coloring graphs optimally (i.e.\ with the minimum number of colors) in the LOCAL model of computation. Most of the work on distributed vertex coloring so far has focused on coloring graphs of maximum degree $\Delta$ with at most $\Delta+1$ colors (or $\Delta$ colors when some simple obstructions are forbidden). When $\Delta$ is sufficiently large and $c\ge \Delta-k_\Delta+1$, for some integer $k_\Delta\approx \sqrt{\Delta}-2$, we give a distributed algorithm that given a $c$-colorable graph $G$ of maximum degree $\Delta$, finds a $c$-coloring of $G$ in $\min\{O((\log\Delta)^{1/12}\log n), 2^{O(\log \Delta+\sqrt{\log \log n})}\}$ rounds, with high probability. The lower bound $\Delta-k_\Delta+1$ is best possible in the sense that for infinitely many values of $\Delta$, we prove that when $\chi(G)\le \Delta -k_\Delta$, finding an optimal coloring of $G$ requires $\Omega(n)$ rounds. Our proof is a light adaptation of a remarkable result of Molloy and Reed, who proved that for $\Delta$ large enough, for any $c\ge \Delta - k_\Delta$ deciding whether $\chi(G)\le c$ is in { extsf{P}}, while Embden-Weinert \emph{et al.}\ proved that for $c\le \Delta-k_\Delta-1$, the same problem is { extsf{NP}}-complete. Note that the sequential and distributed thresholds differ by one. We also show that for any sufficiently large $\Delta$, and $\Omega(\log \Delta)\le k \le \Delta/100$, every graph of maximum degree $\Delta$ and clique number at most $\Delta-k$ can be efficiently colored with at most $\Delta-\varepsilon k$ colors, for some absolute constant $\varepsilon >0$, with a randomized algorithm running in $O(\log n/\log \log n)$ rounds with high probability.

研究动机与目标

• 确定在 LOCAL 模型中，图的最大度为 Δ 时，实现高效分布式着色所需的最优颜色数 c。
• 弥合顺序复杂度与分布式复杂度阈值之间的差距，特别是接近色数阈值 Δ − kΔ 的区域。
• 设计一种分布式算法，实现 c ≥ Δ − kΔ + 1 种颜色下的最优着色，并达到接近最优的轮数复杂度。
• 建立紧致的下界，证明当 c ≤ Δ − kΔ − 1 时，最优着色需要 Ω(n/Δ) 轮，从而证明该阈值是尖锐的。

提出的方法

• 利用 d-稠密分解将图局部划分为稠密和稀疏部分，该分解可在 O(log n) 轮内计算完成。
• 在分布式环境中应用洛瓦兹局部引理（LLL），对子图 F 使用 c 种颜色进行着色，共应用 LLL O((log Δ)^{13/12}) 次。
• 采用改进的 c-约化过程简化图结构，避免了先前工作中存在的顺序依赖。
• 通过一种贪心扩展过程，局部且高效地将部分着色从子图 H 扩展至整个图 G。
• 结合 (deg+1)-列表着色与 LLL 算法的轮数复杂度，总复杂度为 O(T_{deg+1}(n,Δ)) + O((log Δ)^{13/12}) · T_{LLL}(n, poly Δ)。
• 对 LLL 应用中的集中度界进行精细化分析，将迭代次数从多项式降低至 Δ 的对数多项式级别。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于最大度 Δ 的图，实现最优分布式着色的最小颜色数 c 是多少？该着色是否可在多项式对数时间内完成？
• RQ2 分布式最优着色的可解性阈值与顺序复杂度阈值相比如何？为何其差异恰好为一种颜色？
• RQ3 在存在 c-约化器的情况下，能否在无顺序依赖的前提下高效实现最优着色的分布式算法？
• RQ4 当 c ≤ Δ − kΔ − 1 时，最优着色的轮数复杂度下界是多少？与上界相比如何？

主要发现

• 该算法在高概率下，于 min{O((log Δ)^{1/12} log n), 2^{O(log Δ + √log log n)}} 轮内完成 c ≥ Δ − kΔ + 1 的最优着色。
• 阈值 Δ − kΔ + 1 是尖锐的：当 c ≤ Δ − kΔ − 1 时，任何分布式算法均需 Ω(n/Δ) 轮，证明了其不可解性。
• 对于无穷多个 Δ 值，当 c = Δ − kΔ 时，存在图需要 Ω(n) 轮才能最优着色，确认了该阈值的紧致性。
• 通过利用条件 c ≥ Δ − kΔ + 1，该方法避免了顺序的 c-约化步骤，实现了完全局部且高效的计算。
• 轮数复杂度主要由 LLL 和 (deg+1)-列表着色组件决定，其中 LLL 的应用通过精细化集中度分析被减少至 O((log Δ)^{13/12}) 轮。
• 在有界度情形（Δ 为常数）下，通过高级 LLL 技术，复杂度可进一步优化为 exp^{(i)}(O(√log^{(i+1)} n))，其中 i ≤ log*n − 2 log*log*n。