[论文解读] Distributed Games with a Central Decision Maker

Nathanaël Fijalkow, Florian Horn|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2010

Formal Methods in Verification参考文献 7被引用 10

一句话总结

本文研究广义可达性游戏，其中目标是至少访问 k 个指定顶点集合各一次。研究证明，判断胜者的问题是 PSPACE-完全的，但当以 k 为参数时变得可 tractable。作者为双方玩家提供了内存需求的紧致界，并在可达性集合大小有界时识别出多项式时间可解的子类，特别是针对大小为二的集合，通过 2-SAT 归约实现。

ABSTRACT

Games on graphs provide a natural and powerful model for reactive systems. In this paper, we consider generalized reachability objectives, defined as conjunctions of reachability objectives. We first prove that deciding the winner in such games is $\PSPACE$-complete, although it is fixed-parameter tractable with the number of reachability objectives as parameter. Moreover, we consider the memory requirements for both players and give matching upper and lower bounds on the size of winning strategies. In order to allow more efficient algorithms, we consider subclasses of generalized reachability games. We show that bounding the size of the reachability sets gives two natural subclasses where deciding the winner can be done efficiently.

研究动机与目标

• 分析在广义可达性游戏中判断胜者的计算复杂度，其中目标是至少访问 k 个指定顶点集合各一次。
• 确定此类游戏中双方玩家获胜策略的内存需求。
• 识别广义可达性游戏的自然可 tractable 子类，特别是当可达性集合大小有界时。
• 为各种游戏配置下 Eve 和 Adam 的内存复杂度提供紧致的上下界。
• 通过归约到 2-SAT 和可达性偏序结构的分析，探索高效算法的可能性。

提出的方法

• 通过从已知的 PSPACE-完全问题归约，证明广义可达性游戏中胜者判定问题的 PSPACE-完全性。
• 建立以可达性目标数 k 为参数的固定参数可 tractable 性，表明对于固定的 k，问题可在 n（顶点数）的多项式时间内求解。
• 定义可达性偏序 v ⪯ v' 以捕捉 v 是否能在图中到达 v'，并利用其刻画获胜位置，通过吸引子集合的交集实现。
• 对于大小为二的可达性集合的一方玩家游戏，将问题归约为 2-SAT 可满足性，通过布尔公式构造实现多项式时间求解。
• 构造显式的游戏图以证明紧致的内存界：在最坏情况下，Eve 需要 2⌊k/2⌋+1 −1 个内存状态，而 Adam 需要 4 个状态。
• 使用内存结构和同步积构造，将有限记忆策略与扩展图中无记忆策略的形式关系联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有 k 个可达性目标的广义可达性游戏中，判断胜者的计算复杂度是什么？
• RQ2 当以可达性目标数 k 为参数时，胜者判定问题是否可以高效求解？
• RQ3 广义可达性游戏中双方玩家获胜策略的确切内存需求是什么？
• RQ4 是否存在广义可达性游戏的自然子类，使得胜者可在多项式时间内判定？
• RQ5 Adam 的获胜策略的内存复杂度是否可被常数有界，且该界是否紧致？

主要发现

• 在广义可达性游戏中判断胜者的问题是 PSPACE-完全的，即使 k 是输入的一部分。
• 该问题在可达性目标数 k 上具有固定参数可 tractable 性，使得小 k 值时可高效求解。
• 当可达性偏序为全序时，Eve 的获胜区域可表征为每个可达性目标的吸引子集合的交集。
• 当可达性集合大小为二时，该游戏的一方玩家变体可通过归约为 2-SAT 在多项式时间内求解。
• 在某些具有大小为二的可达性集合的广义可达性游戏中，Eve 可能需要多达 2⌊k/2⌋+1 −1 个内存状态才能获胜，且该界是紧致的。
• 在某些具有大小为二的可达性集合的游戏里，Adam 的获胜策略可能需要多达 4 个内存状态，该界似乎紧致，但尚未在一般情况下得到证明。