[论文解读] Distributed Grover's algorithm

Daowen Qiu, Le Luo+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2022

Computability, Logic, AI Algorithms被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种分布式Grover算法，将布尔函数分解为$2^k$个子函数，每个子函数具有$n-k$个输入比特，通过在更小的并行子问题之间分配搜索，降低了查询复杂度。对于$a=1$个目标项，其查询次数为$\lfloor\frac{\pi}{4}\sqrt{2^{n-k}}\rfloor$，远少于标准Grover算法的$\lfloor\frac{\pi}{4}\sqrt{2^n}\rfloor$，同时保持了较高的成功概率，并实现了$O(m\log m)$门复杂度的CNF公式高效oracle构造。

ABSTRACT

Let Boolean function $f:\{0,1\}^n\longrightarrow \{0,1\}$ where $|\{x\in\{0,1\}^n| f(x)=1\}|=a\geq 1$. To search for an $x\in\{0,1\}^n$ with $f(x)=1$, by Grover's algorithm we can get the objective with query times $\lfloor \fracπ{4}\sqrt{\frac{2^n}{a}} floor$. In this paper, we propose a distributed Grover's algorithm for computing $f$ with lower query times and smaller number of input bits. More exactly, for any $k$ with $n>k\geq 1$, we can decompose $f$ into $2^k$ subfunctions, each which has $n-k$ input bits, and then the objective can be found out by computing these subfunctions with query times at most $\sum_{i=1}^{r_i} \lfloor \fracπ{4}\sqrt{\frac{2^{n-k}}{b_i}} floor+\lceil\sqrt{2^{n-k}} ceil+2t_a+1$ for some $1\leq b_i\leq a$ and $r_i\leq 2t_a+1$, where $t_a=\lceil 2π\sqrt{a}+11 ceil$. In particular, if $a=1$, then our distributed Grover's algorithm only needs $\lfloor \fracπ{4}\sqrt{2^{n-k}} floor$ queries, versus $\lfloor \fracπ{4}\sqrt{2^{n}} floor$ queries of Grover's algorithm. %When $n$ qubits belong to middle scale but still are a bit difficult to be processed in practice, $n-k$ qubits are likely feasible for appropriate $k$ in physical realizability. Finally, we propose an efficient algorithm of constructing quantum circuits for realizing the oracle corresponding to any Boolean function with conjunctive normal form (CNF).

研究动机与目标

• 通过在更小的子函数之间分配搜索，降低NISQ时代量子计算中Grover算法的查询复杂度和电路深度。
• 通过最小化输入量子比特数量和电路深度，提高大规模量子算法的物理可实现性。
• 为合取范式（CNF）形式的布尔函数的oracle开发高效的量子电路构造方法。
• 在不引入oracle之间纠缠的前提下，实现子函数搜索的并行执行，提升可扩展性。
• 为在近场量子硬件（如离子阱系统）上实现分布式Grover算法提供实用框架。

提出的方法

• 将布尔函数$f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$分解为$2^k$个子函数$f_i(x) = f(xy_i)$，每个子函数具有$n-k$个输入量子比特，其中$y_i$为索引$i$的二进制表示。
• 对每个子函数独立应用Grover算法，每个子函数使用$\lfloor\frac{\pi}{4}\sqrt{2^{n-k}/b_i}\rfloor$次查询，其中$b_i$为子函数$f_i$中的解的数量。
• 采用并行执行策略，所有子函数oracle独立运行，避免纠缠，降低通信开销。
• 提出一种递归oracle构造算法（算法6），通过$O(m\log m)$个基本门和$O(\log m)$个辅助量子比特，实现相位翻转oracle $Z_f|x\rangle = (-1)^{f(x)}|x\rangle$，适用于含有$m$个子句的3-CNF。
• 使用$O(\lceil\log(m+1)\rceil)$个门和辅助量子比特实现受控加法与受控减法操作，以构建oracle组件。
• 将子函数查询与最终验证步骤结合，额外使用$\lceil\sqrt{2^{n-k}}\rceil + 2t_a + 1$次查询，其中$t_a = \lceil 2\pi\sqrt{a} + 11 \rceil$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将Grover搜索分布在子函数上，以减少总查询次数和电路深度？
• RQ2 当解的数量$a$较小时，该分布式方法的查询复杂度与标准Grover算法相比如何？
• RQ3 如何最优地将布尔函数分解为子函数，以最小化分布式量子搜索中的查询开销？
• RQ4 能否为CNF形式的布尔函数设计高效的量子电路构造方法，以降低oracle实现成本？
• RQ5 子函数搜索的并行执行与串行执行相比，对成功概率和总查询次数有何影响？

主要发现

• 当$a=1$时，分布式Grover算法仅需$\lfloor\frac{\pi}{4}\sqrt{2^{n-k}}\rfloor$次查询，与标准Grover算法的$\lfloor\frac{\pi}{4}\sqrt{2^n}\rfloor$相比，对大$n$呈指数级减少。
• 并行方法的最坏情况查询复杂度受$\sum_{i=1}^{r_i} \lfloor\frac{\pi}{4}\sqrt{\frac{2^{n-k}}{b_i}}\rfloor + \lceil\sqrt{2^{n-k}}\rceil + 2t_a + 1$限制，其中$r_i \leq 2t_a + 1$且$t_a = \lceil 2\pi\sqrt{a} + 11 \rceil$。
• 对于含有$m$个子句的3-CNF布尔函数，其oracle可在$O(m\log m)$时间内构造，使用$O\left(\log m\right)$个辅助量子比特，实现高效实现。
• 并行实现所有子函数oracle的时间复杂度为$O(\max_{i} m_i \log m_i)$，其中$m_i$为子函数$f_i$中的子句数。
• 分布式算法的成功概率与标准Grover算法相近，且在各子函数间保持了高保真度。
• 该方法通过减少输入量子比特数量和电路深度，实现了可扩展且物理可实现的量子搜索，适用于离子阱系统等近场NISQ设备。