[论文解读] Distributed Minimum Vertex Coloring and Maximum Independent Set in Chordal Graphs

Christian Konrad, Viktor Zamaraev|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 1

一句话总结

本文提出了一种基于树分解方法的确定性分布式(1+ϵ)-近似算法，用于弦图中的最小点染色（Minimum Vertex Coloring）和最大独立集（Maximum Independent Set）。通过迭代剥离区间子图并在各层中解决冲突或计算独立集，算法在点染色问题上达到O(1/ϵ log n)轮，在独立集问题上达到O(1/ϵ log(1/ϵ) log∗n)轮，且紧致的下界证明了其轮复杂度近乎最优。

ABSTRACT

We give deterministic distributed (1+epsilon)-approximation algorithms for Minimum Vertex Coloring and Maximum Independent Set on chordal graphs in the LOCAL model. Our coloring algorithm runs in O( (1 / epsilon) log n) rounds, and our independent set algorithm has a runtime of O( (1/epsilon) log(1/epsilon)log^* n) rounds. For coloring, existing lower bounds imply that the dependencies on 1/epsilon and log n are best possible. For independent set, we prove that Omega(1/epsilon) rounds are necessary. Both our algorithms make use of the tree decomposition of the input chordal graph. They iteratively peel off interval subgraphs, which are identified via the tree decomposition of the input graph, thereby partitioning the vertex set into O(log n) layers. For coloring, each interval graph is colored independently, which results in various coloring conflicts between the layers. These conflicts are then resolved in a separate phase, using the particular structure of our partitioning. For independent set, only the first O(log (1/epsilon)) layers are required as they already contain a large enough independent set. We develop a (1+epsilon)-approximation maximum independent set algorithm for interval graphs, which we then apply to those layers. This work raises the question as to how useful tree decompositions are for distributed computing.

研究动机与目标

• 设计弦图中最小点染色（MVC）和最大独立集（MIS）的高效确定性分布式算法。
• 利用弦图的结构特性，特别是其树分解，实现在分布式环境中的全局协调。
• 在LOCAL模型中，实现MVC和MIS的(1+ϵ)-近似，并达到近乎最优的轮复杂度。
• 为MIS建立紧致的轮复杂度下界，证明在任意随机化(1+ϵ)-近似算法中，Ω(1/ϵ)轮是必需的。

提出的方法

• 算法利用输入弦图的树分解来识别并迭代剥离区间子图。
• 对于点染色，每个区间图独立染色，并利用划分的结构特性解决层间冲突。
• 对于独立集，仅处理前O(log 1/ϵ)层，因为这些层已包含一个(1+ϵ)-近似解。
• 开发并应用了一个针对区间图的(1+ϵ)-近似MIS算法于剥离后的层。
• 分布式实现利用团森林的局部视图，并在区间图的连通分量上并行计算独立集。
• 通过分析分量的直径和独立数推导运行时间界限：小直径分量在O(d)轮内处理，大分量则通过算法5在O(1/ϵ log∗n)轮内处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在分布式LOCAL模型中为弦图设计(1+ϵ)-近似MVC和MIS算法？
• RQ2 如何利用树分解在弦图中实现高效的分布式计算？
• RQ3 在弦图中，分布式(1+ϵ)-近似MIS的最优轮复杂度是多少？
• RQ4 该方法能否扩展到更广泛的图类，如k-弦图？

主要发现

• 分布式MVC算法在O(1/ϵ log n)轮内运行，其对1/ϵ和log n的依赖关系与现有下界所证明的最佳已知结果一致。
• 分布式MIS算法在O(1/ϵ log(1/ϵ) log∗n)轮内运行，其复杂度在对数因子范围内最优。
• 证明了在LOCAL模型中，任何随机化(1+ϵ)-近似算法求解MIS至少需要Ω(1/ϵ)轮，即使在路径图上也是如此。
• 算法依赖于一种新颖的基于树分解导出的区间子图的剥离过程，使得仅从局部视图即可实现一致的全局协调。
• 该方法表明，树分解在弦图的分布式计算中极为有效，能够支持高效的近似算法。
• 结果表明，将该方法扩展至k-弦图（即存在更长诱导圈的图）可能是未来研究的有前途方向。