[论文解读] Distributed Phase Estimation Algorithm and Distributed Shor's Algorithm

Ligang Xiao, Daowen Qiu+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 6

一句话总结

本文提出了一种用于秀尔整数分解算法的分布式量子-经典混合阶查找算法，使多个较小的量子计算机能够协作估计 $ s/r $ 的分数部分，从而降低量子比特和门操作的需求。通过使用经典后处理校正重叠比特估计中的测量误差，该方法使每台计算机的量子比特数量几乎减少 $ (1 - 1/k)L - \log_2 k $，同时保持 $ O(kL) $ 的通信复杂度。

ABSTRACT

Shor's algorithm is one of the most significant quantum algorithms. Shor's algorithm can factor large integers with a certain success probability in polynomial time. However, Shor's algorithm requires an unbearable amount of qubits in the NISQ (Noisy Intermediate-scale Quantum) era. To reduce the resources required for Shor's algorithm, in this paper we first propose a new distributed phase estimation algorithm. Our distributed phase estimation algorithm does not require quantum communication and it reduces the number of qubits of a single node compared to the traditional phase estimation algorithm (non-iterative version). Then we apply our distributed phase estimation algorithm to form a distributed order-finding algorithm for Shor's algorithm. Compared with the traditional Shor's algorithm (non-iterative version), the maximum number of qubits required by a single node of our dristributed order-finding algorithm is reduced by $(2-\dfrac{2}{k})L-\log_2k-O(1)$ when factoring an $L$-bit integer ($k$ is the number of compute nodes). The communication complexity of our distributed order-finding algorithm is $O(kL)$.

研究动机与目标

• 为应对在当前 NISQ 时代中，由于尚无大规模容错量子计算机，秀尔算法对高量子比特数和电路深度的高需求。
• 通过将阶查找任务分布在多个节点上，降低单个量子计算机上的资源需求，特别是量子比特数、门复杂度和电路深度。
• 最小化分布式量子算法中的通信开销，目标是将复杂度降至 $ O(kL) $，而非先前方法中常见的 $ O(L^2) $。
• 通过结合量子计算与对部分比特估计的经典误差校正，实现秀尔算法的实际应用。

提出的方法

• 该算法将秀尔算法的阶查找步骤分布在 $ k $ 台量子计算机上，每台计算机估计 $ s/r $ 的一个独立部分。
• 每台计算机在 $ 2L+1+p $-量子比特寄存器的一部分上执行相位估计算法，每台节点聚焦于 $ t_j = L/k + p + 2 $ 个量子比特。
• 相邻计算机之间使用重叠的比特估计，以允许通过经典后处理校正测量误差。
• 经典程序通过合并和验证重叠比特，重建完整的 $ s/r $ 估计值，从而在个体噪声存在的情况下提升准确性。
• 使用量子隐形传态在连续计算机之间传输 $ L $ 个量子比特，每次传输需 $ 2L $ 个经典比特。
• 该算法在每个节点的电路中使用量子傅里叶变换和受控-$ U^a $ 操作，除最后一台节点外，所有节点的深度和门复杂度均按 $ 1/k $ 缩放。

实验结果

研究问题

• RQ1 秀尔算法中的阶查找子程序能否在 $ k $ 台量子计算机上有效分布，以降低每个节点的资源需求？
• RQ2 如何通过经典后处理对重叠比特段的测量误差进行缓解，以应对分布式相位估计算法中的误差？
• RQ3 在分布式秀尔算法中，量子比特减少、电路深度与通信成本之间的权衡关系如何？
• RQ4 与先前分布式方案中的 $ O(L^2) $ 复杂度相比，能否将通信复杂度降低至 $ O(kL) $？
• RQ5 该混合量子-经典方法是否可扩展至其他需要高精度相位估计算法的量子算法？

主要发现

• 与传统秀尔算法相比，该算法在分解 $ L $-比特整数时，每台计算机所需的量子比特数几乎减少 $ (1 - 1/k)L - \log_2 k $。
• 前 $ k-1 $ 台节点的门复杂度降低至 $ O(L^3/k) $，最后一台节点为 $ O(L^3) $，而原始算法中为 $ O(L^3) $。
• 前 $ k-1 $ 台节点的电路深度降低至 $ O(L^3/k) $，在 NISQ 约束下展现出更好的可扩展性。
• 通信复杂度为 $ O(kL) $，显著低于早期分布式秀尔算法中的 $ O(L^2) $ 复杂度。
• 该方法实现了资源减少与串行执行之间的权衡，经典校正提升了准确性，即使在单个节点存在误差的情况下亦然。
• 该算法可扩展至 $ k $ 个节点，并为扩展分布式量子算法至离散对数和线性系统等问题提供了框架。