[论文解读] Distributed physics informed neural network for data-efficient solution to partial differential equations

Vikas Dwivedi, Nishant Parashar+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 21被引用 29

一句话总结

本文提出一种分布式物理信息神经网络（DPINN），将计算域划分为子域，每个子域由浅层局部PINN求解，从而提升数据效率与精度。DPINN在求解Burgers方程和稳态Navier-Stokes方程等非线性PDE时表现优于标准PINN，尤其在捕捉陡峭梯度和降低数据需求方面优势显著。

ABSTRACT

The physics informed neural network (PINN) is evolving as a viable method to solve partial differential equations. In the recent past PINNs have been successfully tested and validated to find solutions to both linear and non-linear partial differential equations (PDEs). However, the literature lacks detailed investigation of PINNs in terms of their representation capability. In this work, we first test the original PINN method in terms of its capability to represent a complicated function. Further, to address the shortcomings of the PINN architecture, we propose a novel distributed PINN, named DPINN. We first perform a direct comparison of the proposed DPINN approach against PINN to solve a non-linear PDE (Burgers' equation). We show that DPINN not only yields a more accurate solution to the Burgers' equation, but it is found to be more data-efficient as well. At last, we employ our novel DPINN to two-dimensional steady-state Navier-Stokes equation, which is a system of non-linear PDEs. To the best of the authors' knowledge, this is the first such attempt to directly solve the Navier-Stokes equation using a physics informed neural network.

研究动机与目标

• 解决标准PINN在表示复杂函数和处理陡峭梯度方面的局限性。
• 通过使用浅层、局部化网络，克服深度PINN中的梯度消失问题。
• 通过分布计算域并强制界面连续性，提升求解PDE的数据效率。
• 首次直接通过物理信息学习，证明基于PINN的方法可求解非线性PDE系统（如Navier-Stokes方程）。
• 为未来在反问题和高维PDE中的应用奠定基础。

提出的方法

• 将计算域划分为更小的子域（单元），以实现局部化、浅层PINN求解。
• 在每个单元中使用两层全连接神经网络，减轻深度相关导致的梯度消失问题。
• 在损失函数中引入界面通量不匹配惩罚项，以强制边界处的连续性。
• 构建复合损失函数，结合PDE残差、边界条件、初始条件及单元间连续性约束。
• 在每个局部PINN中使用自动微分计算PDE损失项中的导数。
• 使用分布在域内的配点（包括界面点）训练分布式网络，以强制实现连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 分布式PINN架构能否提升标准PINN对复杂、高频函数的表示能力？
• RQ2 DPINN方法是否在保持或提升解精度的同时，减少非线性PDE求解的数据需求？
• RQ3 DPINN能否成功求解如稳态Navier-Stokes方程等非线性PDE系统？
• RQ4 与标准PINN相比，DPINN在捕捉陡峭梯度和波包对流方面表现如何？
• RQ5 界面连续性约束在多大程度上起到正则化作用，从而提升泛化能力与数据效率？

主要发现

• DPINN成功表示了标准PINN无法捕捉的高频波包，证明其具有更优的表示能力。
• 在Burgers方程求解中，DPINN在显著更少的训练数据点下实现了低于PINN的均方误差（MSE）。
• DPINN准确预测了雷诺数Re = 10时的稳态顶盖驱动涡流，速度场与压力场与Ghia等人（1982）建立的基准结果高度一致。
• DPINN生成的流线、速度与压力等值线图呈现出物理解释一致的流场模式，证实了该方法的物理合理性。
• DPINN是首个直接基于物理信息神经网络框架求解稳态Navier-Stokes方程的方法。
• DPINN中的界面连续性约束起到了天然正则化作用，相比标准PINN，显著提升了泛化能力并降低了数据依赖性。