[论文解读] Distributed Property Testing for Subgraph-Freeness Revisited

Orr Fischer, Tzlil Gonen+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文重新研究了在 CONGEST 模型下子图自由性的分布式测试，表明对于任意环 $C_k$，$C_k$-自由性可在 $O(1/\theta)$ 轮内测试，且当 $\theta$ 不太小时，三角形自由性可在 $O(1)$ 轮内测试。本文引入了一类广义图（排除 $K_5$），证明其 $H$-自由性可在 $O(1/\theta)$ 轮内测试，并为 $K_s$-自由性提供了具有边数和 $\theta$ 显式依赖关系的子线性轮次算法。此外，本文还建立了下界，表明某些子图的测试存在固有的 $\theta$-依赖性。

ABSTRACT

In the subgraph-freeness problem, we are given a constant-size graph $H$, and wish to determine whether the network contains $H$ as a subgraph or not. The \emph{property-testing} relaxation of the problem only requires us to distinguish graphs that are $H$-free from graphs that are $ε$-far from $H$-free, meaning an $ε$-fraction of their edges must be removed to obtain an $H$-free graph. Recently, Censor-Hillel et. al. and Fraigniaud et al. showed that in the property-testing regime it is possible to test $H$-freeness for any graph $H$ of size 4 in constant time, $O(1/ε^2)$ rounds, regardless of the network size. However, Fraigniaud et. al. also showed that their techniques for graphs $H$ of size 4 cannot test $5$-cycle-freeness in constant time. In this paper we revisit the subgraph-freeness problem and show that $5$-cycle-freeness, and indeed $H$-freeness for many other graphs $H$ comprising more than 4 vertices, can be tested in constant time. We show that $C_k$-freeness can be tested in $O(1/ε)$ rounds for any cycle $C_k$, improving on the running time of $O(1/ε^2)$ of the previous algorithms for triangle-freeness and $C_4$-freeness. In the special case of triangles, we show that triangle-freeness can be solved in $O(1)$ rounds independently of $ε$, when $ε$ is not too small with respect to the number of nodes and edges. We also show that $T$-freeness for any constant-size tree $T$ can be tested in $O(1)$ rounds, even without the property-testing relaxation. Building on these results, we define a general class of graphs for which we can test subgraph-freeness in $O(1/ε)$ rounds. This class includes all graphs over 5 vertices except the 5-clique, $K_5$. For cliques $K_s$ over $s \geq 3$ nodes, we show that $K_s$-freeness can be tested in $O(m^{1/2-1/(s-2)}/ε^{1/2+1/(s-2)})$ rounds, where $m$ is the number of edges.

研究动机与目标

• 确定在分布式 CONGEST 模型中，哪些子图 $H$ 可以在常数时间内测试其自由性。
• 弥合先前技术对小图（$|H| \leq 4$）可实现常数时间算法与无法在常数时间内测试 $C_5$-自由性之间的差距。
• 探索在不使用性质测试松弛的前提下，是否存在子线性或常数时间算法用于 $H$-自由性测试，特别是针对树和团图。
• 为 $H$-自由性建立紧致的轮次复杂度界限，特别是针对环和团图，并识别对距离参数 $\epsilon$ 的必要依赖关系。

提出的方法

• 提出一种新颖的基于采样的协议：每个顶点以概率 $1/n$ 独立采样自身，从而以常数概率确保在子图的每个所需角色中恰好有一个顶点被采样。
• 使用分层构造 $BC(s,n)$ 来模拟潜在的 $s$-团或 $s$-环，其中顶点被划分为 $s$ 个颜色类，且边仅存在于相邻层之间。
• 引入 $j$-安全顶点的定义：若一个顶点在除 $V^j$ 外的每个 $s$ 个顶点集中恰好有一个邻居，则称其为 $j$-安全顶点，确保其属于 $V^j$。
• 从 $1$-安全顶点出发，使用 $[1,n^4]$ 范围内的随机权重执行加权优先BFS，使得单个顶点能以高概率检测到完整的环或团。
• 通过重复放大成功概率，实现 $O(n^{o(1)})$ 轮内的常数成功概率，利用了协议的单边错误特性。
• 推导出下界，表明当无法获取全局图参数时，$C_k$-自由性测试至少需要 $\Omega(1/\sqrt{\epsilon})$ 轮。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否对所有 $k$，$C_k$-自由性均可在 $O(1/\epsilon)$ 轮内测试，从而改进 $k=3,4$ 时的先前 $O(1/\epsilon^2)$ 上界？
• RQ2 对于大小为 5 且非 $K_5$ 的图 $H$，是否可能在常数时间内测试 $H$-自由性？若可以，其结构条件为何？
• RQ3 是否可以对某些 $H$（如树或团图）实现精确的 $H$-自由性测试（无需性质测试松弛），以及需要多少轮？
• RQ4 $K_s$-自由性的最优轮次复杂度是多少？其如何依赖于 $\epsilon$、$m$ 和 $n$？
• RQ5 是否存在下界，表明即使在最坏图结构下，$C_k$-自由性测试也必然依赖于 $\epsilon$？

主要发现

• 对于任意环 $C_k$，$C_k$-自由性可在 $O(1/\epsilon)$ 轮内测试，优于先前对三角形和 $C_4$ 的 $O(1/\epsilon^2)$ 上界。
• 当 $\epsilon \geq \min\{m^{-1/3}, n/m\}$ 时，三角形自由性可在 $O(1)$ 轮内测试，此时在图结构条件适中时可消除 $\epsilon$-依赖。
• 对于任意大小固定的树 $T$，$T$-自由性可在 $O(1)$ 轮内精确测试（无需松弛），即使在有向 CONGEST 模型中亦成立。
• 一类广义图 $\mathcal{H}$（所有 5 个顶点的图，但排除 $K_5$）的 $H$-自由性可在 $O(1/\epsilon)$ 轮内测试，其定义条件为：存在一条边，其移除可覆盖所有环。
• 对于 $K_s$-自由性，轮次复杂度为 $O(\epsilon^{-1/2 - 1/(s-2)} m^{1/2 - 1/(s-2)})$，当 $s=5$ 且 $\epsilon$ 为常数时，结果为 $O(m^{1/6})$ 轮。
• 当无法获取全局图参数时，$C_k$-自由性测试至少需要 $\Omega(1/\sqrt{\epsilon})$ 轮，表明固有的 $\epsilon$-依赖性是必要的。