[论文解读] Distributed triangle detection via expander decomposition

Yi‐Jun Chang, Seth Pettie+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2019

Algorithms and Data Compression被引用 25

一句话总结

该论文提出了一种新颖的分布式图划分技术，可在 CONGEST 模型中以 O(n^{1/2}) 轮完成三角形检测、计数和枚举——优于先前的 O(n^{2/3}) 和 O(n^{3/4}) 上限。该方法将边划分为高导出率、低边树度和剩余三部分，针对每部分采用专用算法，并通过一种路由方案在高导出率子图上模拟团算法。

ABSTRACT

We present improved distributed algorithms for triangle detection and its variants in the CONGEST model. We show that Triangle Detection, Counting, and Enumeration can be solved in O(n1/2) rounds. In contrast, the previous state-of-the-art bounds for Triangle Detection and Enumeration were O(n2/3) and O(n3/4), respectively, due to Izumi and LeGall (PODC 2017).The main technical novelty in this work is a distributed graph partitioning algorithm. We show that in O(n1 − δ) rounds we can partition the edge set of the network G = (V, E) into three parts E = Em ∩ Es ∩ Er such that• Each connected component induced by Em has minimum degree Ω(nδ) and conductance Ω(1/polylog(n)). As a consequence the mixing time of a random walk within the component is O(polylog(n)).• The subgraph induced by Es has arboricity at most nδ.• |Er| ≤ |E|/6.All of our algorithms are based on the following generic framework, which we believe is of interest beyond this work. Roughly, we deal with the set Es by an algorithm that is efficient for low-arboricity graphs, and deal with the set Er using recursive calls. For each connected component induced by Em, we are able to simulate CONGESTED-CLIQUE algorithms with small overhead by applying a routing algorithm due to Ghaffari, Kuhn, and Su (PODC 2017) for high conductance graphs.

研究动机与目标

• 在 CONGEST 模型中改进分布式三角形检测、计数和枚举的轮数复杂度。
• 设计一种分布式图划分方案，将边划分为具有不同结构特性的组件，以实现针对性的算法处理。
• 通过高导出率图的路由协议，实现在高导出率子图上对 CONGESTED-CLIQUE 算法的高效模拟。
• 通过递归处理剩余边并利用低边树度结构，降低整体轮数复杂度。

提出的方法

• 该算法将边集 E 划分为三部分：Em（高导出率、高最小度分量）、Es（低边树度）和 Er（小规模剩余集合）。
• Em 中的每个组件具有最小度 Ω(n^δ) 和导出率 Ω(1/polylog(n))，确保随机游走具有快速混合时间。
• Es 诱导出的子图的边树度至多为 n^δ，可通过低边树度算法实现高效处理。
• 剩余集合 Er 的大小至多为 |E|/6，支持通过递归方式处理且规模逐轮减小。
• 对于每个 Em 组件，该方法利用 Ghaffari、Kuhn 和 Su（PODC 2017）提出的路由协议，以较小开销模拟 CONGESTED-CLIQUE 算法。
• 整体框架结合了针对 Es 和 Er 的专用算法，以及在 Em 上的模拟，实现了更优的轮数复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 o(n^{2/3}) 轮内解决 CONGEST 模型中的三角形检测问题？
• RQ2 能否设计一种分布式图划分方案，以实现通过组件特定算法高效处理与三角形相关的问题？
• RQ3 能否利用高导出率子图来模拟更快速的算法，例如 CONGESTED-CLIQUE 模型中的算法？
• RQ4 在实现更优轮数复杂度时，组件导出率、边树度与剩余边规模之间的权衡关系是什么？

主要发现

• 三角形检测、计数和枚举均可在 CONGEST 模型中以 O(n^{1/2}) 轮完成，优于先前的 O(n^{2/3}) 和 O(n^{3/4}) 上限。
• 所提出的分布式展开图分解将边划分为三部分，具有不同的结构保证：高导出率、低边树度和小规模剩余。
• Em 中每个连通分量具有最小度 Ω(n^δ) 和导出率 Ω(1/polylog(n))，确保随机游走的混合时间为 O(polylog(n))。
• Es 诱导出的子图的边树度至多为 n^δ，可通过低边树度算法实现高效处理。
• 剩余集合 Er 包含的边数至多为 |E|/6，支持通过递归方式处理且规模逐轮减小。
• 该框架可借助 Ghaffari、Kuhn 和 Su（PODC 2017）提出的路由协议，以较小开销在高导出率组件上模拟 CONGESTED-CLIQUE 算法。