[论文解读] Distribution des preimages et des points periodiques d'une correspondance polynomiale

Tien‐Cuong Dinh|ArXiv.org|Mar 28, 2003

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文为洛瓦歇兹指数 l > 1 的多项式对应关系构造了均衡测度 μ，证明了 μ 是某个一般点的逆像分布，并且其支集上排斥性周期点是等分布的。主要贡献在于通过此类对应关系的动力学性质，对多项式无穷唯一性集进行了刻画。

ABSTRACT

We construct an equilibrium measure $μ$ for a polynomial correspondence F of Lojasiewicz exponent l>1. We then show that $μ$ can be built as the distribution of preimages of a generic point and that the expansive periodic points are equidistributed on the support of $μ$. Using this results, we will give a characterization of infinite unique sets for polynomials.

研究动机与目标

• 建立洛瓦歇兹指数 l > 1 的多项式对应关系的均衡测度 μ 的存在性与不变性。
• 证明 μ 是一般点逆像测度的弱极限，将 Briend-Duval 的结果推广至多值映射。
• 通过将多项式对应关系 F = f∘g⁻¹ 的动力学性质与之关联，刻画无穷唯一性集。
• 证明该对应关系的排斥性周期点在 μ 的支集上是等分布的。
• 提供一个紧集 K 成为多项式无穷唯一性集的动力学表征，排除旋转对称与切比雪夫型例外情况。

提出的方法

• 通过 dd^c 类型的解析方法构造均衡测度 μ，将 [11] 中的技术推广至多项式对应关系。
• 利用洛瓦歇兹指数 l > 1 确保无穷远处的足够衰减，从而保证逆像测度的收敛性。
• 在投影 π_A 的纤维上应用类似 Fubini 的积分方法，证明 d₂⁻ⁿ[Yₙ] 弱收敛于 π₁*μ。
• 将例外集 𝔈 定义为最大真 F⁻¹-不变代数子集 𝔈₀ 的正轨道，证明其为极值集。
• 改编 Lyubich 与 Briend-Duval 的方法，以控制一般点附近小球内逆分支及其大小。
• 利用 μ 在 F* 下的不变性及指数速度混合性质，推导出排斥性周期点的等分布性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为洛瓦歇兹指数 l > 1 的多项式对应关系构造均衡测度？
• RQ2 均衡测度 μ 以何种意义下是对应关系下一般点逆像的分布？
• RQ3 μ 支集上排斥性周期点的等分布性，如何与多项式逆像集的唯一性性质相关联？
• RQ4 紧集 K 的何种动力学条件可使其成为多项式的无穷唯一性集？
• RQ5 哪些例外情况（如旋转对称性或切比雪夫型集合）会阻止紧集成为无穷唯一性集？

主要发现

• 对于洛瓦歇兹指数 l > 1 的多项式对应关系 F，其均衡测度 μ 满足 F*-不变性，以指数速度混合，且不赋予极值集正测度。
• μ 是任意不在例外集 𝔈 中的点的逆像的归一化计数测度的弱极限。
• 例外集 𝔈 是最大真代数 F⁻¹-不变子集 𝔈₀ 的正轨道，且为极值集。
• 对应关系 F 的排斥性周期点在 μ 的支集上是等分布的，将 Briend-Duval 的结果推广至对应关系。
• ℂ 中的紧无穷集 K 是多项式的唯一性集，当且仅当它不是朱利亚型集合，且不被任何旋转所不变。
• 对于非恒等多项式 f, g，若 f⁻¹(K) = g⁻¹(K)，则要么 f = R∘g（当 deg(f) = deg(g) 时，R 为旋转），要么 f = P∘g 且 P⁻¹(K) = K（当 deg(f) > deg(g) 时），除两种例外情况外：涉及圆周或区间 [−1,1] 与切比雪夫多项式的情形。