[论文解读] Distribution-free consistent independence tests via center-outward ranks and signs

Hongjian Shi, Mathias Drton+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2019

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文提出了首个适用于任意维度的两个多变量随机向量之间独立性检验的分布自由一致检验方法，结合距离协方差与中心向外秩和符号。该方法在无需置换的情况下实现了渐近准确的零分布近似，支持直接实现，并在中等样本量下即使在高维情形也表现出强大的检验效能。

ABSTRACT

This paper investigates the problem of testing independence of two random vectors of general dimensions. For this, we give for the first time a distribution-free consistent test. Our approach combines distance covariance with the center-outward ranks and signs developed in Hallin (2017). In technical terms, the proposed test is consistent and distribution-free in the family of multivariate distributions with nonvanishing (Lebesgue) probability densities. Exploiting the (degenerate) U-statistic structure of the distance covariance and the combinatorial nature of Hallin's center-outward ranks and signs, we are able to derive the limiting null distribution of our test statistic. The resulting asymptotic approximation is accurate already for moderate sample sizes and makes the test implementable without requiring permutation. The limiting distribution is derived via a more general result that gives a new type of combinatorial non-central limit theorem for double- and multiple-indexed permutation statistics.

研究动机与目标

• 开发一种在一般条件下对多变量随机向量之间独立性进行一致检验且分布自由的方法。
• 克服现有距离协方差与基于核的检验方法的局限性，这些方法因零分布依赖于分布而需要使用置换。
• 将此前仅用于单变量情形的中心向外秩和符号方法整合进多变量独立性框架中。
• 推导出检验统计量的极限零分布，使其在理论上易于处理且在中等样本量下具有高准确性。
• 建立一个新的组合非中心极限定理，适用于双重索引与多重新索引的置换统计量，以支持理论结果。

提出的方法

• 该检验方法结合了距离协方差与中心向外秩和符号，后者通过球对称性和数据深度将单变量秩推广至多变量设置。
• 它利用距离协方差的退化U-统计量结构以及中心向外秩的组合性质，推导出极限零分布。
• 极限分布通过一个针对具有双重和多重索引的置换统计量的新组合非中心极限定理推导得出。
• 检验统计量由中心化、基于秩的距离构造，确保在单调变换下不变性以及在原假设下的分布自由性。
• 针对所有维度组合 (p,q) 从 (1,1) 到 (10,10)，在显著性水平 α=0.1、0.05 和 0.01 下数值估计了临界值，支持直接实现。
• 该方法通过依赖推导出的渐近零分布避免了置换，且证明即使在中等样本量下该零分布也具有高度准确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种分布自由且一致的多变量独立性检验方法，使其无需依赖置换？
• RQ2 如何将中心向外秩和符号方法扩展至多变量设置，以实现分布自由的检验？
• RQ3 基于中心向外秩的距离协方差检验统计量的极限零分布在高维设置下是什么？
• RQ4 能否建立一个新的组合非中心极限定理，以支持此类置换统计量的渐近理论？
• RQ5 与现有方法（如基于边际秩的距离协方差或排序距离协方差）相比，所提出方法的检验效能如何？

主要发现

• 所提出的检验方法是首个在一般维度下对两个多变量随机向量之间的独立性进行检验且同时满足分布自由与一致性的方法。
• 检验统计量的极限零分布已通过解析方法推导得出，并证明在中等样本量下具有高度准确性，从而无需使用置换。
• 为所有从 (1,1) 到 (10,10) 的 (p,q) 组合在 α=0.1、0.05 和 0.01 水平下提供了数值临界值，支持直接实现。
• 在模拟研究中，该方法在高维情形（p=q=7）且 n=216 时仍保持高检验效能，优于对比方法，尤其在检测复杂依赖结构方面表现更优。
• 在示例 C.2 中，基于边际秩的距离协方差检验达到最高功效，但所提出方法在 n≥216 时仍保持高度竞争力与强大功效。
• 该方法对维度表现出敏感性，当样本量充足时，随着维度增加，检验功效显著提升。