[论文解读] Distribution-free Multiple Testing

Ery Arias-Castro, Shiyun Chen|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2016

Statistical Methods in Clinical Trials参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文建立了贝尼尼-霍赫伯格（BH）程序以及福杰尔-巴伯和坎德夫斯（Foygel-Barber and Candès）提出的分布自由方法在对称零分布的位置模型中的渐近最优性。证明了在正态均值和广义拉普拉斯模型中，即使零分布未知，这两种方法也能在错误发现率（FDR）与错误非发现率（FNR）之间实现最优权衡，仅依赖于对称性和尾部衰减性质。

ABSTRACT

We study a stylized multiple testing problem where the test statistics are independent and assumed to have the same distribution under their respective null hypotheses. We first show that, in the normal means model where the test statistics are normal Z-scores, the well-known method of (Benjamini and Hochberg, 1995) is optimal in some asymptotic sense. We then show that this is also the case of a recent distribution-free method proposed by Foygel-Barber and Candès (2015). The method is distribution-free in the sense that it is agnostic to the null distribution - it only requires that the null distribution be symmetric. We extend these optimality results to other location models with a base distribution having fast-decaying tails.

研究动机与目标

• 在零分布已知的正态均值模型中，建立贝尼尼-霍赫伯格（BH）程序的渐近最优性。
• 将最优性结果扩展至仅假设零分布对称性的分布自由多重检验方法。
• 分析福杰尔-巴伯与坎德夫斯（2015）提出的分布自由方法在重尾衰减尾部的模型中的性能。
• 证明BH方法与分布自由方法在错误发现率与错误非发现率方面均达到相同的首阶渐近性能。
• 在最小分布假设下统一理解多重检验的理论，特别是对称性与尾部衰减。

提出的方法

• 采用一种简化的多重检验框架，其中检验统计量独立，且零分布关于零点对称。
• 将风险定义为错误发现率（FDR）与错误非发现率（FNR）之和，并将其视为极小化最大风险准则。
• 应用基于阈值的程序，当检验统计量超过由经验生存函数导出的数据相关阈值时拒绝原假设。
• 在广义拉普拉斯模型中使用渐近分析，其中尾部衰减速率由参数γ刻画，从而推广至正态分布之外的情形。
• 使用经验过程理论与集中不等式，控制检验统计量经验分布函数中的估计误差。
• 通过证明在对称性与尾部衰减条件下，分布自由方法与BH方法均达到相同的渐近阈值与误差率，实现两者的比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 当零分布已知时，贝尼尼-霍赫伯格程序在正态均值模型中是否具有渐近最优性？
• RQ2 仅假设零分布对称性的分布自由多重检验方法能否达到与BH方法相同的渐近性能？
• RQ3 福杰尔-巴伯与坎德夫斯（2015）提出的分布自由方法在重尾或广义拉普拉斯零分布模型中的性能如何变化？
• RQ4 在超越正态性的最小假设下，错误发现率与错误非发现率的渐近行为如何？
• RQ5 相同的阈值策略是否能在零分布已知与未知的情况下均实现最优风险（FDR + FNR）？

主要发现

• 在正态均值模型中，贝尼尼-霍赫伯格程序在首阶渐近意义下是最优的，当 n → ∞ 时达到最小可能风险（FDR + FNR）。
• 福杰尔-巴伯与坎德夫斯（2015）提出的分布自由方法，仅要求零分布对称，其在正态模型中的渐近性能与BH方法相同。
• 在尾部衰减速率 γ > 1 的广义拉普拉斯模型中，当信号强度与稀疏性条件适当满足时，BH方法与分布自由方法的FDR与FNR均收敛于零。
• 分布自由方法中使用的阈值 τ 几乎必然满足 τ ≤ t*，其中 t* 满足 Ψ(t*) ∼ n^{-r*}，且 r* ∈ (β, r)，从而确保与零分布的充分分离。
• 在相同条件下，分布自由方法的错误非发现率以概率收敛于零，表明其检测真实信号的能力与BH方法相当，具有高统计功效。
• 结果在最小假设下成立：仅需零分布对称性与快速衰减的尾部，使该方法对零分布的误设具有鲁棒性。