[论文解读] Distribution modulo 1 and the lexicographic world

J-P. Allouche, Amy Glen|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文通过词典序和Sturmian序列中的中心词，对所有 $\xi > 0$ 和 $n \geq 0$ 的所有分数部分 $\{\xi 2^n\}$ 的最小包含区间进行了完整刻画。研究证明，此类区间由 $\xi$ 的二进制展开唯一确定，函数 $F(x)$ 将每个 $x \in [0,1]$ 映射到满足对所有 $n$ 都有 $\{\xi 2^n\} \in [x,y]$ 的最小 $y$，并表明 $F(x)$ 完全由 $\xi$ 的数字序列的词典序结构决定。关键结果是通过二进制序列中的同态和中心词，对 $F(x)$ 进行了完整描述。

ABSTRACT

We give a complete description of the minimal intervals containing all fractional parts $\{ξ2^n\}$, for some positive real number $ξ$, and for all $n \geq 0$.

研究动机与目标

• 确定给定 $\xi > 0$ 和所有 $n \geq 0$ 时，包含所有分数部分 $\{\xi 2^n\}$ 的最小闭区间 $[x, y]$。
• 定义并分析函数 $F: [0,1] \to [0,1]$，该函数将每个 $x$ 映射到满足对所有 $n$ 都有 $\{\xi 2^n\} \in [x,y]$ 的 $y$ 的下确界。
• 刻画 $\xi$ 的二进制展开结构，使得 $\{\xi 2^n\}$ 落在长度为 $1/2$ 的固定区间内。
• 建立二进制序列的词典序世界与 $\{\xi 2^n\}$ 模 1 分布之间的联系。
• 将 Bugeaud-Dubickas 关于 $b$-进制展开的定理推广到 $b=2$ 的情形，并对 $F(x)$ 进行完整刻画。

提出的方法

• 将函数 $F(x)$ 定义为满足存在 $\xi > 0$ 使得对所有 $n \geq 0$ 都有 $\{\xi 2^n\} \in [x,y]$ 的 $y$ 的下确界。
• 使用词典序世界框架分析 $\xi$ 的二进制展开，特别关注非最终周期的序列。
• 应用将二进制序列映射到形如 $(1w_{p,q}0)^\infty$ 的最终周期序列的同态 $\phi$，其中 $w_{p,q}$ 为一中心词。
• 利用回文闭包和 $Pal$ 算子刻画二进制序列 $\boldsymbol{u}$ 的最长中心前缀。
• 利用 Sturmian 序列和周期平衡序列的结构，根据 $\xi$ 的数字展开分类 $\{\xi 2^n\}$ 的行为。
• 证明 $F(x) = y$ 当且仅当 $\xi$ 的二进制展开（或其对偶）在 $\phi$ 下映射为 $y$ 的二进制展开。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $x \in [0,1]$，存在 $\xi > 0$ 使得对所有 $n \geq 0$ 都有 $\{\xi 2^n\} \in [x, y]$，且最小的此类 $y$ 是多少？
• RQ2 函数 $F(x)$（将 $x$ 映射到满足对所有 $n$ 都有 $\{\xi 2^n\} \in [x,y]$ 的最小 $y$）如何由 $\xi$ 的二进制展开的词典序结构决定？
• RQ3 $\xi$ 的二进制展开与序列 $\{\xi 2^n\}$ 模 1 的结构之间存在何种精确关系？
• RQ4 在什么情况下 $F(x)$ 产生半开或开区间，这又如何依赖于序列 $\boldsymbol{s}_{\alpha,\rho}$ 的移位？
• RQ5 二进制序列中的中心词和回文前缀如何决定 $F(x)$ 的值？

主要发现

• 函数 $F(x)$ 完全由 $x$ 的二进制展开的词典序决定，且 $F(x) = y$ 当且仅当将同态 $\phi$ 应用于 $x$ 的二进制展开后，得到 $y$ 的二进制展开。
• 对于 $x = \frac{1}{4} = 0.01000\ldots_2$，有 $F\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{2}{3}$，因为 $\phi(01000\ldots) = (10)^\infty$，即 $\frac{2}{3}$ 的二进制展开。
• 若 $\xi$ 的二进制展开是 $\{k,k+1\}$ 上的 Sturmian 序列，则 $\{\xi 2^n\}$ 落在长度为 $1/2$ 的闭区间内，且对于此类序列的支撑集中的 $x$，$F(x)$ 是良定义的。
• $F(x)$ 的值由 $x$ 的二进制展开的最长中心前缀决定；若该前缀为 $w_{p,q}$，则 $F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{p}{q}$，其中 $p,q$ 为特定值。
• 对于以 $w_{p,q}100$ 开头的序列 $\boldsymbol{u}$ 且满足 $p > 2q$ 的情形，有 $\phi(0\boldsymbol{u}) = (1w_{p,q}0)^\infty$，且该图像决定了 $F(x)$。
• $F(x)$ 在 $x$ 的二进制展开非最终周期的点处不连续，其值取决于该展开与特征 Sturmian 序列的字典序比较。