[论文解读] Distribution of determinant of matrices with restricted entries over finite fields

Lê Anh Vinh|ArXiv.org|Mar 13, 2009

Graph theory and applications参考文献 3被引用 7

一句话总结

本文研究有限域 $\mathbb{F}_q$ 中子集 $\mathcal{A}$ 取值的 $d \times d$ 矩阵的行列式分布。利用几何交集理论与傅里叶分析，证明当 $ |\mathcal{A}| = \omega(q^{d/(2d-1)}) $ 且 $ d \geq 4 $ 时，行列式为 $ t \in \mathbb{F}_q^* $ 的此类矩阵数量渐近为 $ (1+o(1)) \frac{|\mathcal{A}|^{d^2}}{q} $，改进了先前的界，并将结果推广至更高维度。

ABSTRACT

For a prime power $q$, we study the distribution of determinent of matrices with restricted entries over a finite field $\mathbbm{F}_q$ of $q$ elements. More precisely, let $N_d (\mathcal{A}; t)$ be the number of $d imes d$ matrices with entries in $\mathcal{A}$ having determinant $t$. We show that \[ N_d (\mathcal{A}; t) = (1 + o (1)) \frac{|\mathcal{A}|^{d^2}}{q}, \] if $|\mathcal{A}| = ω(q^{\frac{d}{2d-1}})$, $d\geqslant 4$. When $q$ is a prime and $\mathcal{A}$ is a symmetric interval $[-H,H]$, we get the same result for $d\geqslant 3$. This improves a result of Ahmadi and Shparlinski (2007).

研究动机与目标

• 理解从子集 $ \mathcal{A} \subset \mathbb{F}_q $ 中选取条目的 $ d \times d $ 矩阵的行列式分布。
• 改进有限域中行列式等分布性的先前界，特别是针对高维矩阵。
• 将 Ahmadi 与 Shparlinski (2007) 及 Covert 等人 (2010) 的结果推广至一般集合 $ \mathcal{A} $ 和更高维度 $ d \geq 4 $。
• 在 $ |\mathcal{A}| $ 超过依赖于 $ q $ 和 $ d $ 的某一阈值时，建立行列式的渐近等分布性。

提出的方法

• 利用 Covert 等人 (2010) 的几何交集估计，特别是定理 2.1，以控制行列式计数函数的 $ L^2 $-范数。
• 在 $ \mathbb{F}_q^d $ 上应用傅里叶分析，包括关于非平凡加法特征 $ \chi $ 的傅里叶变换。
• 使用恒等式 $ \sum_{l \in \mathbb{F}_q^*} N_d^2(\mathcal{A}; l) = \# \{ (M,N) : M,N \in \mathcal{A}^{d \times d}, \, \det(MN^{-1}) = 1 \} $，将行列式计数的二阶矩与特殊线性群的大小联系起来。
• 通过归纳法和对 $ d=2 $ 的已知估计，推导出 $ \sum_{l \in \mathbb{F}_q^*} N_d^2(\mathcal{A}; l) $ 的界，从而得出主要的渐近结果。
• 对于区间 $ [-H,H] $，利用定理 1.2 (Ahmadi 与 Shparlinski) 获得 $ d=3 $ 时更强的界，表明当 $ H = \omega(p^{3/5}) $ 时实现等分布。
• 通过归纳法和对双线性方程解数的估计，控制渐近展开中的误差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，条目属于 $ \mathcal{A} \subset \mathbb{F}_q $ 的 $ d \times d $ 矩阵的行列式在 $ \mathbb{F}_q^* $ 上渐近均匀分布？
• RQ2 等分布的阈值如何依赖于维度 $ d $ 和条目集合 $ \mathcal{A} $ 的大小？
• RQ3 Covert 等人 (2010) 关于三维体积的结果能否推广至更高维的行列式分布？
• RQ4 给定行列式的矩阵数量的渐近计数中，精确的误差项是什么？它如何依赖于 $ |\mathcal{A}| $？
• RQ5 当 $ \mathcal{A} $ 是区间 $ [-H,H] $ 而非一般子集时，等分布阈值如何变化？

主要发现

• 当 $ d \geq 4 $ 且 $ |\mathcal{A}| = \omega(q^{d/(2d-1)}) $ 时，对所有 $ t \in \mathbb{F}_q^* $，有 $ N_d(\mathcal{A}; t) = (1+o(1)) \frac{|\mathcal{A}|^{d^2}}{q} $，表明实现渐近等分布。
• 当 $ d=3 $ 时，若 $ |\mathcal{A}| = \omega(q^{3/5}) $，则同样实现渐近等分布，与 Covert 等人 (2010) 定理 1.3 的界一致。
• 当 $ \mathcal{A} = [-H,H] \subset \mathbb{F}_p $ 且 $ p $ 为素数时，若 $ H = \omega(p^{3/5}) $，则 $ d=3 $ 时实现等分布，优于先前的界。
• 对于 $ d=2 $，结果在 Ahmadi 与 Shparlinski (2007) 的相同条件下成立，但本文将其推广至更高维度。
• 二阶矩 $ \sum_{l \in \mathbb{F}_q^*} N_d^2(\mathcal{A}; l) $ 满足 $ O\left( q^{-1} |\mathcal{A}|^{2d^2} + q^{d(d-1)/2} |\mathcal{A}|^{d(d+1)-2} \right) $，在所述条件下为 $ o(q^{-1} |\mathcal{A}|^{2d^2}) $。
• 当 $ H $ 较小时，即 $ H = O(p^{1/2}) $，得到一个改进的估计 $ S_d([-H,H]) = O\left( p^{d(d-1)/2 - 1} H^{d(d+1)+o(1)} \right) $，优于一般估计。