[论文解读] Distribution of points with prescribed derivative in polynomial dynamics

Thomas Gauthier, Gabriel Vigny|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用 7

一句话总结

该论文在较弱的动力学条件下，建立了多项式映射 $ f $（次数 $ d \geq 2 $）的 $ n $ 次迭代导数满足 $ (f^n)'(z) = \lambda $ 的点 $ z $ 的等分布性，其极限为 $ f $ 的平衡测度 $ \mu_f $。此外，论文进一步证明在二次多项式族 $ z^2 + c $ 中，满足 $ (p_c^n)'(c) = \lambda(c) $ 的参数 $ c $ 会等分布于曼德布罗特集的调和测度，且对任意多项式 $ \lambda(c) $，收敛在弱拓扑下成立。

ABSTRACT

In analogy to the equidistribution of preimages of a prescribed point by the iterates of a polynomial map in the complex plane towards the equilibrium measure, we show here the equidistribution of points for which the derivative of the n-th iterate of the polynomial takes a suitable prescribed value towards the equilibrium measure. We then give a similar statement in the space of degree d polynomials for the equidistribution of parameters for which the n-derivative at a given critical value has a prescribed derivative towards the activity current of the corresponding critical point.

研究动机与目标

• 建立对于任意次数 $ d \geq 2 $ 的多项式 $ f $，满足 $ (f^n)'(z) = \lambda $ 的点 $ z \in \mathbb{C} $ 的等分布性，其极限为平衡测度 $ \mu_f $。
• 将此等分布性结果推广至二次多项式 $ z^2 + c $ 的参数空间，证明满足 $ (p_c^n)'(c) = \lambda(c) $ 的参数等分布于曼德布罗特集的调和测度。
• 分析在导数原像等分布中异常集合的作用，特别关注 Siegel 圆盘、逃逸临界点以及双曲性之间的关系。
• 将等分布结果从点的原像推广至导数的原像，将其构型为切丛上的协变动力系统问题。
• 为通过势论与当前理论方法研究参数空间中高余维对象的等分布性，提供一个理论框架。

提出的方法

• 定义概率测度 $ \nu_n^\lambda = \frac{1}{d^n - 1} \sum_{(f^n)'(z) = \lambda} \delta_z $，其计数 $ \lambda $ 在 $ n $ 次迭代导数下的原像（含重数）。
• 研究 $ \mathbb{C}^2 $ 上的切丛映射 $ F(z,u) = (f(z), f'(z) \cdot u) $ 的动力学，其迭代编码了导数协变。
• 证明 $ F $ 的 Green 当量是投影 $ \pi_1: (z,u) \mapsto z $ 下 $ \mu_f $ 的拉回，且 $ (d^n - 1)^{-1} (F^n)^*([u=1]) $ 弱收敛于该当量。
• 利用当量的交比理论，证明 $ (d^n - 1)^{-1} (F^n)^*([u=1]) \wedge [u=\lambda] \to \pi_1^*(\mu_f) \wedge [u=\lambda] $，从而推出 $ \nu_n^\lambda $ 弱收敛于 $ \mu_f $。
• 在参数空间情形下，定义 $ u_n^\lambda(c) = \frac{1}{2^n} \log |(p_c^n)'(c) - \lambda(c)| $，使得 $ \nu_n^\lambda = dd^c u_n^\lambda $，并应用次调和函数理论。
• 应用 Hartogs 引理与引理 3.8（Buff-Gauthier）证明 $ u_n^\lambda \to g_M $ 在 $ \mathbb{C} \setminus M $ 上逐点收敛，从而推出 $ \nu_n^\lambda \to \mu_M $ 在 $ L^1_{\text{loc}} $ 中收敛且弱收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，满足 $ (f^n)'(z) = \lambda $ 的点 $ z \in \mathbb{C} $ 的集合会等分布于次数 $ d \geq 2 $ 的多项式 $ f $ 的平衡测度 $ \mu_f $？
• RQ2 在更强的动力学假设（如双曲性或无 Siegel 圆盘）下，能否证明导数原像等分布中的异常集合 $ E_f \subset \mathbb{C}^* $ 为空集？
• RQ3 在二次族中，满足 $ (p_c^n)'(c) = \lambda(c) $ 的参数 $ c \in \mathbb{C} $ 的等分布性与曼德布罗特集的调和测度有何关系？
• RQ4 子调和势与当量交比方法在多大程度上可推广至高次多项式族或更高余维的参数子集？
• RQ5 链式法则在将导数动力系统编码为协变结构中的作用是什么？该结构如何促进复动力系统中等分布结果的建立？

主要发现

• 对任意次数 $ d \geq 2 $ 的多项式 $ f $，对所有 $ \lambda \in \mathbb{C} \setminus E_f $，测度 $ \nu_n^\lambda $ 均等分布于平衡测度 $ \mu_f $，其中 $ E_f \subset \mathbb{C}^* $ 为极集。
• 若 $ f $ 无 Siegel 圆盘且无逃逸临界点，则 $ E_f = \emptyset $，故对所有 $ \lambda \in \mathbb{C}^* $，等分布性成立。
• 对双曲多项式，异常集 $ E_f $ 同样为空，意味着对所有 $ \lambda \in \mathbb{C}^* $，等分布性成立。
• 在二次族 $ p_c(z) = z^2 + c $ 中，由 $ (p_c^n)'(c) = \lambda(c) $ 定义的测度 $ \nu_n^\lambda $，对任意多项式 $ \lambda(c) $，弱收敛于曼德布罗特集的调和测度 $ \mu_M $。
• 收敛性通过势函数 $ u_n^\lambda \to g_M $ 在 $ \mathbb{C} \setminus M $ 上的逐点收敛性建立，利用了次调和函数理论与 Buff-Gauthier 引理。
• 证明依赖于精确估计：对 $ c \in \mathbb{C} \setminus M $，有 $ \frac{1}{2^n} \log |(p_c^n)'(c)| \to g_M(c) $，且误差界呈指数衰减。