[论文解读] Distribution of postcritically finite polynomials

Charles Favre, Thomas Gauthier|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用 6

一句话总结

该论文建立了具有指定组合结构和乘子的后临界有限多项式与双曲参数在复多项式模空间中向分岔测度的等分布性。利用Yuan的小高度点等分布定理与Epstein的横截性结果，作者证明了随着组合复杂度的增加，此类参数在分岔测度下趋于均匀分布。

ABSTRACT

We prove that Misiurewicz parameters with prescribed combinatorics and hyperbolic parameters with (d - 1) distinct attracting cycles with given multipliers are equidistributed with respect to the bifurcation measure in the moduli space of degree d complex polynomials. Our proof relies on Yuan's equidistribution results of points of small heights, and uses in a crucial way Epstein's transversality results.

研究动机与目标

• 在模空间 $\mathcal{P}_d$ 中建立具有指定临界轨道组合结构的后临界有限多项式向分岔测度的等分布性。
• 证明具有 $d-1$ 个不同吸引周期轨道且具有指定乘子的双曲参数向同一测度的等分布性。
• 通过 $p$-进高度理论与几何横截性，将等分布结果从二次多项式推广至高次多项式。
• 为高维多项式动力系统参数空间中的等分布提供一个通用框架。

提出的方法

• 利用Yuan在算术动力系统中关于小高度点的等分布定理，分析 $\mathcal{P}_d$ 中特殊参数的分布。
• 通过临界点的最大Green函数在参数空间 $\mathbb{C}^{d-1}$ 上构造一个分岔高度函数。
• 在线丛 $\mathcal{O}(1)$ 上使用一个拟正的 $p$-进度量来定义高度，从而将算术性质与动力性质联系起来。
• 应用Epstein的横截性结果，确保临界轨道关系在参数空间中定义光滑且横截的交点。
• 利用以双曲组件参数化的全纯圆盘 $\mathbb{D}_{c,a}$ 来估计距离并控制测度集中。
• 应用长度-面积估计与Bézout定理，限制周期参数的数量并控制测度收敛速度。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有固定临界轨道组合结构的后临界有限多项式是否在 $\mathcal{P}_d$ 中向分岔测度等分布？
• RQ2 具有 $d-1$ 个不同吸引周期轨道且具有指定乘子的双曲参数是否相对于分岔测度等分布？
• RQ3 是否能通过高度理论方法建立高次多项式族中特殊参数的等分布性？
• RQ4 临界轨道关系的横截性在确保参数空间中等分布性方面起什么作用？
• RQ5 此类参数向分岔测度的等分布收敛速度如何？

主要发现

• 具有指定组合结构的严格后临界有限多项式在 $\mathcal{P}_d$ 中关于分岔测度 $\mu_{\textup{bif}}$ 等分布。
• 具有 $d-1$ 个不同吸引周期轨道且具有指定乘子的双曲参数也向 $\mu_{\textup{bif}}$ 等分布。
• 这些参数对应的经验测度向 $\mu_{\textup{bif}}$ 的收敛被证明是弱收敛，误差界随 $\varepsilon \to 0$ 衰减。
• 集合 $\operatorname{Per}^*(\underline{m}_k, \underline{w}[j])$ 的基数恰好为 $\prod_l \bar{M}_d(m_{k,l})$，与代数曲线 $C_{k,j}$ 的次数一致。
• 比值 $\frac{\operatorname{Card}(\operatorname{Per}^*(\underline{m}_k, \underline{w}[j+1]))}{\deg(C_{k,j})}$ 衰减速度满足 $\leq d(d-1)^{-2} d^{-m_{k,j}} \to 0$，从而确保测度集中。
• 相邻双曲组件中对应点之间的距离被控制在 $K\varepsilon$ 以内，从而可通过长度-面积估计控制测度差异。