[论文解读] Distribution of Random Variables on the Symmetric Group

Vytas Zacharovas|ArXiv.org|Jan 13, 2009

Analytic Number Theory Research参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文建立了对对称群 $S_n$ 及其子集 $S_n^{(k)}$ 上随机排列的阶的对数分布的精确收敛速率估计，扩展了Erdős–Turán定律。通过解析与概率方法，包括Voronoi求和与Tauberian定理，证明了最优收敛速率为 $O(1/\sqrt{\log n})$，并在加权测度下对乘法函数给出了显式的误差界。

ABSTRACT

The well known Erdos-Turan law states that the logarithm of an order of a random permutation is asymptotically normally distributed. The aim of this work is to estimate convergence rate in this theorem and also to prove analogous result for distribution of the logarithm of an order of a random permutation on a certain class of subsets of the symmetric group. We also study the asymptotic behavior of the mean values of multiplicative functions on the symmetric group and the results we obtain are of independent interest besides their application to the investigation of the remainder term in the Erdos-Turan law. We also study a related problem of distribution of the degree of a splitting field of a random polynomial and obtain sharp estimates for its convergence rate to normal law. In research we apply both probabilistic and analytic methods. Some analytic methods used here have their origins in the probabilistic number theory, and some have their roots in the theory of summation of divergent series. One of the approaches we use is to apply Tauberian type estimates for Voronoi summability of divergent series to analyze the generating functions of the mean values of multiplicative functions.

研究动机与目标

• 改进随机排列循环数分布的Erdős–Turán定律中的余项估计。
• 在对称群的子集 $S_n^{(k)}$ 上，为随机排列的阶的对数建立类似的收敛速率结果。
• 为 $S_n$ 和 $S_n^{(k)}$ 上乘法函数的均值给出新估计，这些估计本身具有独立兴趣。
• 分析随机多项式分裂域次数分布收敛到正态分布的速率。
• 建立一个用于Voronoi求和的Tauberian定理，以支持主要收敛结果。

提出的方法

• 在 $S_n$ 上使用基于乘法函数 $d(\sigma)$ 定义的加权概率测度 $\nu_{n,d}$，推广了均匀测度和Ewens测度。
• 应用Voronoi求和与Tauberian定理分析乘法函数加权均值的收敛性。
• 使用生成函数与奇点分析估计 $S_n$ 上乘法函数 $f$ 的均值 $M_n^d(f)$。
• 通过循环型分解和对 $|\hat{f}(k)-1|$ 的界，推导 $|M_n^d(f) - \exp(\sum_{k=1}^n d_k(\hat{f}(k)-1)/k)|$ 的误差界。
• 应用Berry–Esséen定理与集中不等式，控制 $\log O_n(\sigma)$ 和 $\log P_n(\sigma)$ 的尾部概率。
• 利用循环指标结构与渐近展开，分析 $S_n^{(k)}$ 上 $\log O_n(\sigma)$ 的分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $S_n$ 上，$\log O_n(\sigma)$ 分布收敛到正态分布的最优收敛速率是什么？
• RQ2 在加权测度 $\nu_{n,d}$ 下，Erdős–Turán定律中的余项行为如何？
• RQ3 在 $S_n^{(k)}$ 中，$\log P_n(\sigma)$（即随机排列阶的对数）的分布收敛速率是多少？
• RQ4 在一般 $d$-加权测度下，$S_n$ 上的乘法函数行为如何？其均值估计是什么？
• RQ5 能否建立一个用于Voronoi求和的Tauberian定理，以支持此背景下收敛速率结果的分析？

主要发现

• 在 $S_n$ 上，$\log O_n(\sigma)$ 分布的收敛速率为 $O(1/\sqrt{\log n})$，且该速率是最优的。
• 在 $S_n^{(k)}$ 上，$\log O_n(\sigma)$ 收敛到正态性的速率同样为 $O(1/\sqrt{\log n})$，并给出了显式的误差界。
• 在 $\hat{f}(j)$ 和 $d_j$ 满足一定条件时，Erdős–Turán定律中的余项被改进为 $O(\mu_n^{c_1} + n^{-c_2})$。
• 随机多项式分裂域次数的分布以速率 $O(1/\sqrt{\log n})$ 收敛到正态分布。
• 建立了一个新的用于Voronoi求和的Tauberian定理，支持了在 $S_n$ 上乘法函数背景下发散级数收敛分析。
• 推导出显式误差界：$\Delta_n \leq c\left(\sum_{j=0}^n p_j\right)^{-1}\sum_{k=1}^n |\hat{f}(k)-1|p_{n-k} + \frac{1}{n^{d^-}}\sum_{k=1}^n |\hat{f}(k)-1|k^{d^--1} + \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n |\hat{f}(k)-1|\right)$，显示出对 $d^-$ 和 $d^+$ 的依赖性。