[论文解读] Distribution of shifted discrete random walk generated by distinct random variables and applications in ruin theory

Simonas Gervė, Andrius Grigutis|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2022

Probability and Risk Models参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的解析框架，用于计算具有周期性变化索赔分布和恒定保费收入的多季节离散时间风险模型中的最终生存概率。通过求解由生成函数和特征多项式根导出的线性方程组，作者计算了初始生存概率，并推导出一个闭式生成函数，从而能够对任意初始盈余水平精确计算破产与生存概率。

ABSTRACT

In this paper, we set up the distribution function $$ φ(u)=\mathbb{P}\left(\sup_{n\geqslant 1}\sum_{i=1}^{n}\left(X_i-κ ight)

研究动机与目标

• 推广先前关于具有非同分布、周期性索赔规模和恒定保费率的离散时间风险模型的研究。
• 推导具有不同、非独立同分布增量的平移随机游走的上确界分布。
• 通过求解线性方程组中的初始值 φ(0), ..., φ(κN−1)，计算多季节风险模型中的最终生存概率 φ(u)。
• 为 φ(u+1 提供一个生成函数，以实现对任意初始盈余 u 的生存概率的高效计算。
• 通过使用泊松分布及其他离散分布的计算示例，在不同 κ 和 N 设置下验证该方法。

提出的方法

• 将生存概率 φ(u) 表示为 P(supₙ≥₁ Σᵢ₌₁ⁿ(Xᵢ−κ) < u)，建模具有周期性索赔分布和恒定保费率 κ 的风险过程。
• 通过基于生成函数和 s^κN = G_{S_N}(s) 的根的系数，推导出线性方程组 (16)，其解即为初始值 φ(0), ..., φ(κN−1)。
• 构建生成函数 Ξ(s) = uᵀv / (e^{a_{10}(s−1)} − s^{50}) 用于 φ(u+1)，其中 u 和 v 为从初始概率和泊松加权和导出的向量。
• 使用涉及 M_j 和 G_j 的矩阵系统求解 m_i^{(j)} 系数，随后通过 φ(u) = Σ_{i=0}^{u} m_i^{(1)}（当 u ≤ 5 时）计算累积的 φ(u) 值。
• 应用递推关系将 φ(u) 扩展至初始范围之外，使用递推式 m^{(j)}_n = (m^{(j−1)}_{n−5} − Σ 项) / x_0^{(j−1)}（当 n ≥ 5 时）。
• 采用最终方程通过总索赔和与 φ(50−Σi_j) 的联合概率计算 φ(0)，以闭合该系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有周期性变化索赔分布和恒定保费率的离散时间风险模型中，如何计算最终生存概率 φ(u)？
• RQ2 决定此类模型中初始值 φ(0), ..., φ(κN−1) 的方程组结构是什么？
• RQ3 能否为具有任意 κ 和 N 的多季节风险模型中的 φ(u+1) 推导出闭式生成函数？
• RQ4 特征方程 s^κN = G_{S_N}(s) 的根如何影响生存概率系统的解？
• RQ5 当应用于泊松分布等实际索赔分布（参数变化）时，该方法的计算精度和可扩展性如何？

主要发现

• 当 κ=5, N=10 时，通过线性系统中的初始系数 m_i^{(1)} 计算得：φ(1) = 0.1821，φ(2) = 0.2425，φ(3) = 0.3009，φ(4) = 0.3554，φ(5) = 0.4058。
• 当 T=10 且 u=20 时，有限时间生存概率为 0.990，而最终生存概率 φ(20) 为 0.826，表明在高初始盈余下长期生存概率显著下降。
• 在 |s|<1 且 e^{a_{10}(s−1)} ≠ s^{50} 条件下，显式推导出生成函数 Ξ(s)，其中 u 和 v 向量由初始概率和泊松加权和构造而成。
• 该方法成功利用总索赔和 ≤49 的所有索赔路径的联合概率和 φ(50−Σi_j) 计算了 φ(0)。
• 当 κ=2, N=2 时，生存概率 φ(1) 为 0.1821，φ(2)=0.2425，φ(3)=0.3009，φ(4)=0.3554，φ(5)=0.4058，表明在不同参数集下结果具有一致性。
• 表 5 中的计算结果确认，随着 T 增加，生存概率趋近于 1，且最终生存概率随 u 增加而趋于稳定，当 u=30 时，κ=5, N=10 情况下 φ(∞)≈0.923。