[论文解读] Distribution-Path Dependent Nonlinear SPDEs with Application to Stochastic Transport Type Equations

Panpan Ren, Hao Tang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2020

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 30被引用 16

一句话总结

本文通过正则化逼近方法，建立了分布-路径相关非线性随机偏微分方程（SPDEs）在奇异漂移项下的全局存在性与唯一性。研究证明强噪声可防止随机输运型方程中的有限时间爆破，包括带有或不带科里olis效应的Camassa–Holm方程，展示了噪声诱导的正则化效应，使原本在确定性情况下会崩溃的解得以稳定。

ABSTRACT

By using a regularity approximation argument, the global existence and uniqueness are derived for a class of nonlinear SPDEs depending on both the whole history and the distribution under strong enough noise. As applications, the global existence and uniqueness are proved for distribution-path dependent stochastic transport type equations, which are arising from stochastic fluid mechanics with forces depending on the history and the environment. In particular, the distribution-path dependent stochastic Camassa--Holm equation with or without Coriolis effect has a unique global solution when the noise is strong enough, whereas for the deterministic model wave-breaking may occur. This indicates that the noise may prevent blow-up almost surely.

研究动机与目标

• 解决噪声同时依赖于解的路径与分布的分布-路径相关随机流体模型的适定性这一开放问题。
• 将经典SPDE理论扩展至包含在状态空间中未良好定义的奇异漂移项的情形，例如流体动力学中出现的此类项。
• 在系数仅关于状态变量局部Lipschitz的条件下，建立非线性SPDE的全局存在性与唯一性。
• 证明强噪声可防止在确定性情况下会发生有限时间爆破的随机流体模型中的波破裂现象。

提出的方法

• 通过在一系列更光滑的空间中逼近解，使用正则化逼近论证来处理奇异漂移项。
• 通过停时技术实现局部Lipschitz系数的局部化，以在证明唯一性时加以控制。
• 通过双重性与换位子估计识别奇异漂移项，在希尔伯特空间中应用修正的伊藤公式。
• 在索博列夫空间中使用换位子估计，以控制涉及导数的漂移项的非线性性。
• 通过算子 $J_n$ 和 $T_n$ 实施截断与正则化方案，以定义具有良好定义系数的逼近SPDEs。
• 在索博列夫范数 $H^s$ 与 $H^{s'}$ 中建立先验估计，以控制逼近解的增长与收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在状态空间中未良好定义的奇异漂移项下，分布-路径相关SPDEs的全局解是否可能存在？
• RQ2 在确定性动力学下会出现波破裂的随机流体模型中，强噪声是否可防止有限时间爆破？
• RQ3 当系数仅局部Lipschitz时，如何建立依赖于解的路径与分布的SPDE的适定性？
• RQ4 噪声强度在稳定原本会变得奇异的解中起到何种作用？
• RQ5 在强噪声条件下，是否可证明带有科里olis效应的Camassa–Holm方程具有唯一的全局解，即使其在确定性情况下会发生波破裂？

主要发现

• 在强噪声条件下，对一类分布-路径相关非线性SPDEs，其奇异漂移项在状态空间中未良好定义，本文建立了全局存在性与唯一性。
• 当噪声足够强时，带有或不带科里olis效应的随机Camassa–Holm方程具有唯一的全局解。
• 在确定性版本中几乎必然发生波破裂的Camassa–Holm方程，在强噪声作用下几乎必然被阻止发生波破裂。
• 正则化逼近方法通过使用换位子估计与算子截断，成功处理了基于 $H^s$ 的SPDEs中的奇异漂移项 $-(X\cdot\nabla)X$。
• 由于强噪声诱导的非爆炸性，解的分布在整个时间区间内均良好定义，从而解决了关键的技术障碍。
• 该方法为研究随机性同时依赖于解的历史与经验分布的随机流体模型提供了框架。