[论文解读] Distributional property testing in a quantum world

András Gilyén, Tongyang Li|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 14

一句话总结

本文提出了一种基于量子奇异值变换（QSVT）的通用量子算法框架，用于分布性质测试，实现了对经典与量子分布的接近度、独立性及熵的显著加速。结果表明，具备对分布的相干访问能力的量子算法可实现 O(1/(νϵ) log³(1/νϵ)) 次查询来测试 ℓ2-接近度，优于经典方法，并首次在相干访问模型下实现了对密度算符测试的量子加速。

ABSTRACT

A fundamental problem in statistics and learning theory is to test properties of distributions. We show that quantum computers can solve such problems with significant speed-ups. In particular, we give fast quantum algorithms for testing closeness between unknown distributions, testing independence between two distributions, and estimating the Shannon / von Neumann entropy of distributions. The distributions can be either classical or quantum, however our quantum algorithms require coherent quantum access to a process preparing the samples. Our results build on the recent technique of quantum singular value transformation, combined with more standard tricks such as divide-and-conquer. The presented approach is a natural fit for distributional property testing both in the classical and the quantum case, demonstrating the first speed-ups for testing properties of density operators that can be accessed coherently rather than only via sampling; for classical distributions our algorithms significantly improve the precision dependence of some earlier results.

研究动机与目标

• 开发一种通用的量子方法用于分布性质测试，利用对分布的相干量子访问。
• 展示在 ℓα-接近度测试、独立性测试和熵估计等基本问题上，量子算法的加速效果。
• 在不依赖采样、而仅通过相干（纯化）查询访问的前提下，建立首个用于测试密度算符性质的量子算法。
• 通过利用具备相干访问的量子算法，改进经典分布测试中对精度的依赖关系。
• 通过表明 QSVT 在经典与量子设置下的分布问题中是天然适用的，弥合量子算法与统计性质测试之间的鸿沟。

提出的方法

• 作者以量子奇异值变换（QSVT）为核心技术，用于操控密度算符的奇异值并采样分布。
• 他们构建了密度矩阵的块编码，并应用多项式变换，通过幅度估计算法估计 ∥ρ−σ∥₂² 等量。
• 在 ℓ2-接近度测试中，他们通过在概率质量的 dyadic 区间上使用分治策略分解问题，将每个 x 标记为 k，使得 p(x)+q(x) ∈(2−k−1, 2−k+1)。
• 他们使用 M = O(√n/(νϵ)) 次调用，通过幅度估计算法估计测量目标态的概率，并通过重复操作提升成功概率。
• 该方法使用纯化量子查询访问（通过酉操作 Uρ）以实现对表示分布的量子态的相干制备。
• 他们结合 SWAP 测试与幅度估计算法，以估计 Tr[ρσ]、Tr[ρ²] 和 Tr[σ²]，从而实现对 ∥ρ−σ∥₂² 的估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子计算机是否能够系统性且更高效地利用相干访问来测试经典与量子分布的性质？
• RQ2 在相干量子访问下，测试两个分布之间 ℓ2-接近度的查询复杂度是多少？
• RQ3 在量子分布性质测试设置中，量子算法是否能对测试独立性和估计冯·诺依曼熵实现可证明的加速？
• RQ4 是否存在一个下界，与 purified query 模型中 ℓ2-接近度测试的上界 O(1/(νϵ) log³(1/νϵ)) 相匹配？
• RQ5 适用于 purified quantum query-access 模型的下界技术有哪些，可用于证明最优性？

主要发现

• 该论文在具备相干访问的条件下，实现了对经典分布之间鲁棒 ℓ2-接近度测试的 O(1/(νϵ) log³(1/νϵ) log log(1/νϵ)) 查询复杂度。
• 对于量子密度算符，鲁棒 ℓ2-接近度测试的查询复杂度为 O(min(√n/ϵ, 1/ϵ²)/ν)，与相干访问下已知的最佳界一致。
• 该方法首次在通过相干查询而非采样访问时，实现了对密度算符性质测试的量子加速。
• 该算法利用 QSVT 和幅度估计算法，以精度 νϵ² 估计 ∥ρ−σ∥₂²，从而支持鲁棒测试。
• 该方法相比先前的经典算法，改善了对精度的依赖关系，尤其在鲁棒测试场景下表现更优。
• 在最强的纯态制备模型下，建立了 Ω(1/ϵ) 的下界，表明上界具有近乎最优性。