[论文解读] Distributional Robust Kelly Gambling

Qingyun Sun, Stephen Boyd|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2018

Risk and Portfolio Optimization参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文提出了一种分布鲁棒的凯利赌博策略，其中投注策略通过在可能的概率分布模糊集上最大化最坏情况下的期望对数财富来优化。该方法在有限结果场景下为凸优化问题，计算上可行，同时在分布不确定性下保持鲁棒性，通过凸优化技术实现计算可行性。

ABSTRACT

In classic Kelly gambling, bets are chosen to maximize the expected log growth of wealth, under a known probability distribution. In this note we consider the distributional robust version of the Kelly gambling problem, in which the probability distribution is not known, but lies in a given set of possible distributions. The bet is chosen to maximize the worst-case (smallest) expected log growth among the distributions in the given set. This distributional robust Kelly gambling problem is convex, but in general need not be tractable. We show that it can be tractably solved in a number of useful cases when there is a finite number of outcomes.

研究动机与目标

• 为解决经典凯利赌博策略假设已知概率分布的局限性，提出一种在分布不确定性下的鲁棒替代方案。
• 制定一种分布鲁棒的凯利赌博问题，以在一组合理分布中最大化最小期望对数增长。
• 建立该鲁棒优化问题在计算上仍可行的条件，特别是在有限结果场景中。

提出的方法

• 该问题被表述为一个凸优化程序，其目标是在给定的模糊集概率分布上最大化最坏情况下的期望对数财富。
• 模糊集被定义为一组可能的概率分布，通常通过统计或信息论约束（如矩约束或f-散度）构建。
• 通过求解凸对偶问题推导出鲁棒凯利策略，利用对偶理论将极小-极大问题转化为可计算形式。
• 在有限结果空间中，该方法可简化为二阶锥规划或锥规划，从而实现高效的数值求解。
• 该方法通过防范模糊集内最不利的分布来确保鲁棒性，而无需完全掌握真实分布。
• 该解是分布鲁棒的，因为即使真实分布偏离名义估计值在模糊集范围内，其性能依然良好。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典凯利赌博策略扩展以处理底层概率分布的不确定性？
• RQ2 在何种条件下，分布鲁棒凯利问题在计算上是可行的？
• RQ3 在有限结果的赌博场景中，哪些类型的模糊集能导致凸且可解的鲁棒优化问题？
• RQ4 在分布发生偏移的情况下，该鲁棒策略与经典凯利策略的性能相比如何？
• RQ5 该鲁棒方法能否被表述为凸规划，以保证全局最优性和高效计算？

主要发现

• 分布鲁棒凯利赌博问题为凸问题，确保任意局部最优解即为全局最优解，支持可靠的数值求解方法。
• 在有限结果场景中，该鲁棒问题可重述为二阶锥规划，实现高效且可扩展的计算。
• 该鲁棒策略在模糊集内所有分布上均实现保证的最低期望对数增长，为不确定性下的性能提供保障。
• 在分布误设的场景中，该方法优于经典凯利策略，尤其当真实分布位于名义估计之外时表现更优。
• 基于f-散度或矩约束的模糊集可导出计算可行的公式，同时保持问题的凸性。
• 该鲁棒解具有分布敏感性，意味着其能根据模糊集的结构自适应调整，对最坏情况分布提供更强的对冲。