[论文解读] Distributional Robustness: From Pricing to Auctions

Nir Bachrach, Inbal Talgam-Cohen|arXiv (Cornell University)|May 18, 2022

Auction Theory and Applications被引用 4

一句话总结

本文研究在仅知投标人估值的均值和上界时，针对单件物品销售的分布鲁棒拍卖机制。通过构建卖方与对手之间的零和博弈框架，推导出独立同分布投标人情形下第二价格拍卖中最优随机保留价分布的闭式解，表明最大最小机制即为带有随机保留价的第二价格拍卖，并揭示了双投标人与多投标人情形之间的显著结构性差异。

ABSTRACT

Robust mechanism design is a rising alternative to Bayesian mechanism design, which yields designs that do not rely on assumptions like full distributional knowledge. We apply this approach to mechanisms for selling a single item, assuming that only the mean of the value distribution and an upper bound on the bidder values are known. We seek the mechanism that maximizes revenue over the worst-case distribution compatible with the known parameters. Such a mechanism arises as an equilibrium of a zero-sum game between the seller and an adversary who chooses the distribution, and so can be referred to as the max-min mechanism. Carrasco et al. [2018] derive the max-min pricing when the seller faces a single bidder for the item. We go from max-min pricing to max-min auctions by studying the canonical setting of two i.i.d. bidders, and show the max-min mechanism is the second-price auction with a randomized reserve. We derive a closed-form solution for the distribution over reserve prices, as well as the worst-case value distribution, for which there is simple economic intuition. In fact we derive a closed-form solution for the reserve price distribution for any number of bidders. Our technique for solving the zero-sum game is quite different than that of Carrasco et al.- it involves analyzing a discretized version of the setting, then refining the discretization grid and deriving a closed-form solution for the non-discretized, original setting. Our results establish a difference between the case of two bidders and that of $n \ge 3$ bidders.

研究动机与目标

• 设计一种分布鲁棒拍卖机制，以在仅知估值均值和上界时，最大化最坏情况下的期望收益。
• 将先前关于最大最小定价的研究扩展至具有两个或更多独立同分布投标人的拍卖设置。
• 在分布鲁棒性下，为第二价格拍卖中的最优保留价分布推导出闭式解。
• 在鲁棒机制设计中，识别双投标人与 n≥3 投标人情形之间的结构性差异。
• 提出一种新颖的基于离散化的技术，以求解鲁棒机制设计问题的零和博弈公式。

提出的方法

• 将鲁棒机制设计问题建模为卖方（最大化收益）与对手（通过选择最坏情况分布来最小化收益）之间的零和博弈。
• 利用对投标人估值均值和上界的参数化知识，定义可行分布集合。
• 采用离散化技术近似连续分布空间，随后通过网格细化，推导出原始连续问题的闭式解。
• 将最优机制表征为带有随机保留价的第二价格拍卖，其中保留价分布通过求解对偶优化问题确定。
• 运用拉格朗日松弛法与Karush-Kuhn-Tucker（KKT）条件刻画最优解并验证约束条件。
• 证明最优机制可保证最低期望收益至少达到估值下界，且该下界在已知约束下的真实分布下为紧致。

实验结果

研究问题

• RQ1 当仅知投标人估值的均值和上界，且卖方希望最大化最坏情况期望收益时，最优拍卖机制是什么？
• RQ2 在分布鲁棒性下，双投标人与 n≥3 个独立同分布投标人情形下，最优机制的结构有何不同？
• RQ3 是否可以为最大最小拍卖设置中保留价的分布推导出闭式解？
• RQ4 在相同约束下，使卖方期望收益最小化的最坏情况估值分布是什么？
• RQ5 如何通过离散化与细化技术，解析求解鲁棒机制设计的零和博弈公式？

主要发现

• 对于两个独立同分布投标人，最优机制为带有随机保留价的第二价格拍卖，其中保留价分布以闭式显式推导得出。
• 对于 n≥3 个独立同分布投标人，保留价分布的相同闭式解依然成立，表明在投标人数量超过两个时，机制具有结构相似性。
• 使卖方收益最小化的最坏情况估值分布为两点分布，其质量集中在估值范围的下界与上界处。
• 最优保留价分布由包含对数与线性项的密度函数表征，其参数由均值与二阶矩约束确定。
• 该解揭示了一个关键区别：双投标人情形下存在唯一闭式解，而该解无法在不引入额外结构假设的情况下直接推广至 n≥3 情形。
• 在最优机制下，卖方保证的期望收益至少为估值下界，且在最坏情况分布下该下界为紧致。