[论文解读] Distributional Uncertainty Propagation via Optimal Transport

Liviu Aolaritei, Nicolas Lanzetti+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2022

Bayesian Modeling and Causal Inference被引用 4

一句话总结

该论文通过最优传输（OT）模糊集引入了分布不确定性传播（DUP），在推广鲁棒与随机不确定性模型的同时，实现了线性和非线性动力系统中可解析处理的不确定性传播。关键贡献在于，OT模糊集能够通过确定性和随机映射实现精确或紧致的上界传播，从而在分布偏移和“黑天鹅”事件下，对未来发展状态的不确定性提供闭式表征。

ABSTRACT

This paper addresses the limitations of standard uncertainty models, e.g., robust (norm-bounded) and stochastic (one fixed distribution, e.g., Gaussian), and proposes to model uncertainty via Optimal Transport (OT) ambiguity sets. These constitute a very rich uncertainty model, which enjoys many desirable geometrical, statistical, and computational properties, and which: (1) naturally generalizes both robust and stochastic models, and (2) captures many additional real-world uncertainty phenomena (e.g., black swan events). Our contributions show that OT ambiguity sets are also analytically tractable: they propagate easily and intuitively through linear and nonlinear (possibly corrupted by noise) transformations, and the result of the propagation is again an OT ambiguity set or can be tightly upper bounded by an OT ambiguity set. In the context of dynamical systems, our results allow us to consider multiple sources of uncertainty (e.g., initial condition, additive noise, multiplicative noise) and to capture in closed-form, via an OT ambiguity set, the resulting uncertainty in the state at any future time. Our results are actionable, interpretable, and readily employable in a great variety of computationally tractable control and estimation formulations. To highlight this, we study three applications in trajectory planning, consensus algorithms, and least squares estimation. We conclude the paper with a list of exciting open problems enabled by our results.

研究动机与目标

• 解决标准鲁棒（范数有界）与随机（固定分布）不确定性模型在捕捉现实世界现象（如黑天鹅事件和分布偏移）方面的局限性。
• 构建一个统一且表达能力强的不确定性模型，同时推广鲁棒与随机框架，同时保持解析与计算上的可处理性。
• 在加法与乘法噪声下，实现线性和非线性动力系统中分布不确定性的确切或紧致上界传播。
• 通过表征状态分布不确定性随时间的演化，为分布鲁棒控制与估计提供基础。

提出的方法

• 使用最优传输（OT）模糊集建模不确定性——以参考分布为中心的Wasserstein球体，实现丰富且具有几何意义的不确定性表征。
• 通过前向推（pushforward）操作与OT距离的结构，将OT模糊集传播至确定性映射 $ f(x) $，包括线性映射 $ f(x) = Ax $。
• 将传播扩展至涉及逐点和 $ f(x) = x + y $ 与积 $ f(x) = x \cdot y $ 的随机映射，其中 $ y $ 为不确定的随机向量。
• 将该框架应用于具有加法与乘法噪声的线性时不变（LTI）系统，推导出状态分布中传播模糊集的闭式表达式。
• 针对具有单射映射的非线性动力系统，通过迭代前向推与逆映射，表征不确定性传播。
• 在三个应用中利用该框架：轨迹规划、一致性算法与最小二乘估计，展示其在控制与估计中的实用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用OT模糊集以推广鲁棒与随机模型的方式建模分布不确定性，同时捕捉罕见事件？
• RQ2 OT模糊集在动力系统中通过确定性与随机变换传播的解析性质为何？
• RQ3 基于OT的不确定性传播能否在多个不确定性源下，为线性与非线性系统中的状态分布提供闭式表达？
• RQ4 所提出的框架如何用于设计具有更高可处理性与可解释性的分布鲁棒控制与估计算法？

主要发现

• OT模糊集推广了鲁棒与随机模型，并自然捕捉了黑天鹅事件与分布偏移。
• 对于具有加法与乘法噪声的线性系统，任意未来时刻的状态不确定性可被OT模糊集精确表征，如命题18所示。
• 在时不变线性系统中，估计器 $ \hat{x} $ 的分布不确定性完全由 $ \hat{x} - x_0 \sim \mathbb{Q} \in \mathbb{B}_{m\varepsilon}^{\|\cdot\|_{2}^{2} \circ A}}(A^{\dagger}_{\#} \widehat{\mathbb{P}}^{\otimes m}) $ 捕获，提供非高斯、分布鲁棒的表征。
• 对于具有单射动力学的非线性系统，时间 $ t $ 的状态分布由 $ x_t \sim \mathbb{Q}_t \in \mathbb{B}_{\varepsilon}^{c \circ (f^{-t} \times f^{-t})}(f^t_{\#} \mathbb{P}_0) $ 表征，实现精确的不确定性传播。
• 该框架在控制与估计中实现了计算上可处理、可解释且可操作的公式化，其优化维度与控制时域无关。
• 该结果通过在概率测度空间中利用OT模糊集嵌入不确定性传播，为分布鲁棒控制、滤波与稳定性分析开辟了新途径。