[论文解读] Distributionally Robust Chance-Constrained Bin Packing

Shujun Zhang, Ruiwei Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2016

Multi-Criteria Decision Making被引用 5

一句话总结

本文提出了一种分布鲁棒的随机约束装箱问题（DCBP）模型，仅利用物品重量的均值和协方差信息，以确保对分布不确定性具有鲁棒性。通过将问题表述为0-1二阶锥规划，并利用子模性推导扩展拟模多面体不等式，该方法显著强化了问题的建模，并通过分支定界法实现高效求解，在多种测试实例中表现出优异的计算性能。

ABSTRACT

Chance-constrained bin packing problem allocates a set of items into bins and, for each bin, bounds the probability that the total weight of packed items exceeds the bin's capacity. Different from the stochastic programming approaches relying on full distributional information of the random item weights, we assume that only the information of the mean and covariance matrix is available. Accordingly, we consider distributionally robust chance-constrained bin packing (DCBP) models. Using two types of ambiguity sets, we equivalently reformulate the DCBP models as 0-1 second-order cone (SOC) programs. Furthermore, we exploit the submodularity of the 0-1 SOC constraints under special and general covariance matrices, and derive extended polymatroid inequalities to strengthen the 0-1 SOC formulations. We then incorporate these valid inequalities in a branch-and-cut algorithm for efficiently solving the DCBP models. Finally, we demonstrate the computational efficacy of our approaches and performance of DCBP solutions on test instances with diverse problem sizes, parameters, and item weight uncertainty.

研究动机与目标

• 通过仅依赖部分分布信息（均值和协方差）而非完整分布，解决随机规划在装箱问题中的局限性。
• 在物品重量分布存在模糊性的情况下，为随机约束装箱问题构建分布鲁棒优化框架。
• 利用基于子模性的扩展拟模多面体不等式，强化DCBP模型的建模，以提高求解效率。
• 设计并实现一种针对DCBP问题0-1二阶锥重构的分支定界算法。
• 在不同不确定性水平和问题规模的多样化测试实例上，评估所提方法的计算有效性与鲁棒性。

提出的方法

• 基于均值和协方差信息定义两类模糊集，构建DCBP问题，实现在无需完整分布假设下的分布鲁棒性。
• 将随机约束模型重新表述为0-1二阶锥（SOC）规划，以支持现代锥优化求解器的应用。
• 在协方差矩阵为特殊形式（如对角矩阵）及一般协方差矩阵下，利用0-1 SOC约束的子模性，推导有效的扩展拟模多面体不等式。
• 在分支定界算法中集成推导出的扩展拟模多面体不等式作为割线，以收紧松弛问题并加速收敛。
• 实现一种专门针对重构后DCBP模型0-1二阶锥结构的分支定界框架，以高效求解大规模实例。
• 通过数值实验验证强化建模的性能以及求解算法在多样化问题设置下的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何仅基于物品重量的均值和协方差信息，构建分布鲁棒的随机约束装箱模型？
• RQ2 在基于均值和协方差定义的模糊集中，DCBP模型的等价二阶锥规划重构形式是什么？
• RQ3 如何利用0-1 SOC约束的子模性，推导出更强的可行不等式以强化DCBP建模？
• RQ4 扩展拟模多面体不等式在多大程度上提升了求解DCBP模型的计算性能？
• RQ5 在不确定性水平和问题规模各异的测试实例上，所提出的分支定界算法与标准方法相比性能如何？

主要发现

• DCBP模型成功地基于均值和协方差信息的模糊集，重构为0-1二阶锥规划，实现了对分布不确定性的鲁棒性。
• 0-1 SOC约束的子模性使得能够推导出扩展拟模多面体不等式，从而强化建模并减小整数规划间隙。
• 在分支定界算法中引入扩展拟模多面体不等式，显著提升了计算效率和求解速度。
• 所提方法在多样化测试实例中表现出强大的计算有效性，包括高不确定性与大规模问题实例。
• DCBP解在分布变化下表现出鲁棒性能，即使物品重量偏离假设分布，仍能保持可行性与近似最优性。
• 计算实验确认，强化后的建模显著减小了最优性间隙，并减少了达到收敛所需的分支定界节点数。