[论文解读] Distributionally Robust Chance-Constrained Programs with Right-Hand Side Uncertainty under Wasserstein Ambiguity

Nam Ho-Nguyen, Fatma Kılınç-Karzan+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2020

Risk and Portfolio Optimization参考文献 35被引用 14

一句话总结

本文提出了一种改进的混合整数规划（MIP）公式化方法以及两类有效不等式，用于处理在 Wasserstein 不确定性集下具有右侧不确定性分布鲁棒机会约束规划（DR-CCP）的问题。通过揭示与名义机会约束规划、混合集以及鲁棒 0-1 规划之间的联系，作者显著加强了连续松弛的界限，将求解时间从数小时缩短至数秒，从而能够求解包含数千个场景的大规模问题。

ABSTRACT

We consider exact deterministic mixed-integer programming (MIP) reformulations of distributionally robust chance-constrained programs (DR-CCP) with random right-hand sides over Wasserstein ambiguity sets. The existing MIP formulations are known to have weak continuous relaxation bounds, and, consequently, for hard instances with small radius, or with large problem sizes, the branch-and-bound based solution processes suffer from large optimality gaps even after hours of computation time. This significantly hinders the practical application of the DR-CCP paradigm. Motivated by these challenges, we conduct a polyhedral study to strengthen these formulations. We reveal several hidden connections between DR-CCP and its nominal counterpart (the sample average approximation), mixing sets, and robust 0-1 programming. By exploiting these connections in combination, we provide an improved formulation and two classes of valid inequalities for DR-CCP. We test the impact of our results on a stochastic transportation problem numerically. Our experiments demonstrate the effectiveness of our approach; in particular our improved formulation and proposed valid inequalities reduce the overall solution times remarkably. Moreover, this allows us to significantly scale up the problem sizes that can be handled in such DR-CCP formulations by reducing the solution times from hours to seconds.

研究动机与目标

• 解决现有 MIP 公式化方法在 Wasserstein 不确定性集下具有右侧不确定性的 DR-CCP 问题中连续松弛界限较差的问题，该问题导致较大的最优性间隙和缓慢的收敛速度。
• 克服当前公式化方法在小 Wasserstein 半径或大规模问题下所面临的实际局限性，尤其是在使用分支定界求解器时。
• 通过识别 DR-CCP 与名义机会约束规划、混合集以及鲁棒 0-1 规划之间的隐藏结构联系，加强 MIP 重构公式。
• 利用分布鲁棒约束的 CVaR 解释，推导出一种更紧凑且不含 big-M 约束的新 MIP 公式化方法。
• 提出两类新的有效不等式——混合不等式与路径不等式，基于多面体分析以收紧公式。

提出的方法

• 利用对偶表示，将具有右侧不确定性的 DR-CCP 在 Wasserstein 不确定性集中重新表述，从而实现确定性 MIP 重构。
• 识别 DR-CCP 与名义样本平均近似（SAA）公式的隐藏联系，从而推导出在 SAA 区域有效的混合不等式。
• 将分位数强化技术适配到 DR-CCP 设置中，消除重构中的 big-M 约束，提升数值稳定性。
• 利用分布鲁棒约束的 CVaR 解释，推导出一种约束更少、更紧凑的 MIP 公式化方法。
• 揭示一种类似于鲁棒 0-1 规划的混合整数子结构，从而基于此联系推导出第二类有效不等式——路径不等式。
• 实施一种分支切割方法，分别分离混合不等式与路径不等式，以进一步收紧公式并加速收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何显著加强现有 MIP 公式化方法在具有右侧不确定性的 DR-CCP 问题中连续松弛的界限？
• RQ2 DR-CCP 与名义机会约束规划、混合集以及鲁棒 0-1 规划之间存在哪些隐藏的结构联系，可被用于改进公式？
• RQ3 能否利用分布鲁棒约束的 CVaR 解释，构建一种更紧凑且高效的 MIP 重构公式？
• RQ4 混合不等式与路径不等式在 Wasserstein 不确定性集下的 DR-CCP 问题中，能在多大程度上减少最优性间隙与求解时间？
• RQ5 改进的公式与有效不等式是否能扩展到包含数千个场景的大规模问题实例，将求解时间从数小时缩短至数秒？

主要发现

• 改进的 MIP 公式化方法将最多 3,000 个场景实例的求解时间从数小时缩短至一分钟以内，显著提升了可扩展性。
• 对于 F=10, D=100, N=3,000 的实例，改进公式在数秒内即可求解所有问题至最优，而基线公式在一小时内无法找到可行解。
• 引入混合不等式与路径不等式后，最优性间隙进一步缩小：当 N=3,000, θ=θ₁ 时，间隙从 0.78%（改进版）降至 0.48%（混合+路径）。
• 改进公式在根节点的最优性间隙平均不超过 0.8%，且当 θ≥θ₂ 时，根节点即可达到 0.01% 的间隙阈值，表明初始边界非常强。
• 所提出的公式与不等式在小 Wasserstein 半径下尤为有效，此时名义 SAA 区域更接近鲁棒区域，混合不等式的影响更强。
• 计算实验表明，分支定界过程在减少间隙方面作用有限，凸显了强初始公式的必要性，而本方法成功实现了这一点。