[论文解读] Distributionally Robust Game Theory

Nicolas Loizou|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2015

Economic theories and models参考文献 45被引用 3

一句话总结

本文提出了分布鲁棒博弈论（Distributionally Robust Game Theory），这是一种新颖的框架，通过使用概率分布的模糊集来建模收益不确定性，从而广义化了纳什博弈、贝叶斯博弈和鲁棒博弈。该文证明，均衡可通过求解一个多线性系统解的分量投影来计算，从而实现了对具有不同风险态度的不完全信息博弈的统一处理，方法基于条件风险价值（CVaR）。

ABSTRACT

The classical, complete-information two-player games assume that the problem data (in particular the payoff matrix) is known exactly by both players. In a now famous result, Nash has shown that any such game has an equilibrium in mixed strategies. This result was later extended to a class of incomplete-information two-player games by Harsanyi, who assumed that the payoff matrix is not known exactly but rather represents a random variable that is governed by a probability distribution known to both players. In 2006, Bertsimas and Aghassi proposed a new class of distribution-free two-player games where the payoff matrix is only known to belong to a given uncertainty set. This model relaxes the distributional assumptions of Harsanyi's Bayesian games, and it gives rise to an alternative distribution-free equilibrium concept. In this thesis we present a new model of incomplete information games without private information in which the players use a distributionally robust optimization approach to cope with the payoff uncertainty. With some specific restrictions, we show that our "Distributionally Robust Game" constitutes a true generalization of the three aforementioned finite games (Nash games, Bayesian Games and Robust Games). Subsequently, we prove that the set of equilibria of an arbitrary distributionally robust game with specified ambiguity set can be computed as the component-wise projection of the solution set of a multi-linear system of equations and inequalities. Finally, we demonstrate the applicability of our new model of games and highlight its importance.

研究动机与目标

• 将经典的博弈论模型——纳什博弈、贝叶斯博弈和鲁棒博弈——统一于单一的分布鲁棒框架之下。
• 不通过假设已知分布（如贝叶斯博弈中）或固定最坏情况（如鲁棒博弈中），而是通过一个合理的概率分布模糊集来建模收益不确定性。
• 利用条件风险价值（CVaR）引入玩家间异质的风险态度，使模型在实际应用中更具现实性。
• 建立一种计算方法，通过一个多线性方程与不等式系统，识别此类博弈中的均衡。
• 通过两个具体例子——自由搭车博弈与检查博弈——展示该模型的应用性。

提出的方法

• 构建一个分布鲁棒博弈模型，其中玩家在其收益分布的模糊集上最小化最坏情况下的CVaR。
• 利用已知的矩信息（如均值和支撑集）定义模糊集，确保集合中的所有分布均与观测数据一致。
• 使用一个多线性方程与不等式系统来刻画均衡集合，其中均衡通过解集的分量投影获得。
• 应用CVaR风险度量，使玩家能够以参数ε表示不同程度的风险规避。
• 采用数值算法近似计算均衡，并在测试案例中评估其收敛性与性能。
• 通过允许分布不确定性（而不仅仅是参数不确定性）扩展鲁棒博弈框架，从而实现对模糊性的更丰富建模。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个单一的博弈论框架，能够通过统一的分布鲁棒优化方法，将纳什博弈、贝叶斯博弈和鲁棒博弈统一起来？
• RQ2 通过CVaR建模的异质风险态度如何影响具有收益不确定性的博弈中的均衡结果？
• RQ3 在何种条件下，分布鲁棒博弈模型会退化为经典博弈论模型（如纳什博弈或贝叶斯博弈）？
• RQ4 能否通过一个明确定义的数学结构，系统性地计算分布鲁棒博弈中的均衡集合？
• RQ5 模糊集参数（如均值向量、最大距离）的变化如何影响均衡的存在性与收益？

主要发现

• 分布鲁棒博弈模型广义化了纳什博弈、贝叶斯博弈和鲁棒博弈，意味着任何此类博弈均可作为所提框架的特例表示。
• 分布鲁棒博弈中的均衡可作为多线性方程与不等式系统解集的分量投影来计算。
• 对于特定模糊集（如仅含单一点支撑集），该模型退化为完全信息的有限博弈，与经典纳什博弈保持一致。
• 在分布鲁棒自由搭车博弈中，当模糊集受约束（如s=0）时，不同风险水平下的均衡与收益保持不变，表明对风险态度变化具有鲁棒性。
• 在分布鲁棒检查博弈中，均衡与收益在不同风险水平下保持不变，表明在某些模糊集配置下，风险偏好不会改变结果。
• 数值实验表明，在一般情况下，风险水平（ε）的变化会影响均衡与收益，证实当模糊性非退化时，该模型对风险偏好具有敏感性。