[论文解读] Distributionally Robust Optimization with Decision Dependent Ambiguity Sets

Fengqiao Luo, Sanjay Mehrotra|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2018

Risk and Portfolio Optimization参考文献 34被引用 9

一句话总结

本文提出了一种分布鲁棒优化框架，其中模糊集（ambiguity sets）的概率分布依赖于决策变量，从而对内生不确定性进行建模。通过利用对偶理论——线性、锥型或拉格朗日对偶——该框架将这些复杂问题重新表述为可通过全局优化技术求解的有限或半无限规划问题，从而实现了对具有矩、Wasserstein、φ-散度及Kolmogorov-Smirnov基础模糊集的决策依赖型鲁棒随机规划问题的求解。

ABSTRACT

We study decision dependent distributionally robust optimization models, where the ambiguity sets of probability distributions can depend on the decision variables. These models arise in situations with endogenous uncertainty. The developed framework includes two-stage decision dependent distributionally robust stochastic programming as a special case. Decision dependent generalizations of five types of ambiguity sets are considered. These sets are based on bounds on moments, Wasserstein metric, $ϕ$-divergence and Kolmogorov-Smirnov test. For the finite support case, we use linear, conic or Lagrangian duality to give reformulations of the models with a finite number of constraints. These reformulations allow solutions of such problems using global optimization techniques. Certain reformulations give rise to non-convex semi-infinite programs. Techniques from global optimization and semi-infinite programming can be used to solve these reformulations.

研究动机与目标

• 建模不确定性分布依赖于决策的优化问题，以捕捉现实系统中的内生不确定性。
• 将分布鲁棒优化从决策独立型模糊集扩展至包含决策依赖型公式的框架。
• 开发基于对偶的重构方法，将原始的非凸、半无限问题转化为可通过全局优化方法求解的形式。
• 展示该框架在五类不同模糊集类型中的适用性：矩约束、协方差约束、Wasserstein距离、φ-散度以及Kolmogorov-Smirnov检验。
• 为求解重构后的问题提供理论基础与算法路径，尤其关注有限支持与连续支持情形。

提出的方法

• 利用线性、锥型或拉格朗日对偶，重构决策依赖型分布鲁棒优化中的内层最大-最小问题。
• 应用对偶理论，将模糊集约束转化为等价的有限或半无限约束，具体取决于支持类型。
• 对于有限支持，通过使用对偶将问题重构为具有有限约束的规划问题；对于连续支持，推导出可应用切面算法的半无限规划。
• 采用切面算法（修改的交换法）求解所得的半无限规划问题，并在紧致性与连续性条件下保证收敛性。
• 通过划分支持集并施加对场景概率与矩的半无限约束，重构基于矩的模糊集。
• 对基于φ-散度与Kolmogorov-Smirnov统计的模糊集，采用鞍点方法与对偶理论，确保在正则条件下实现精确重构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将分布鲁棒优化扩展至建模模糊集依赖于决策变量的内生不确定性？
• RQ2 基于矩约束、Wasserstein距离、φ-散度及Kolmogorov-Smirnov统计的决策依赖型模糊集，可能的基于对偶的重构形式有哪些？
• RQ3 重构后的问题是否可使用全局优化技术求解？其重构问题的结构特性是什么？
• RQ4 决策依赖型分布鲁棒优化问题的计算复杂度与可解性如何，特别是在连续支持情形下？
• RQ5 如何对切面算法进行调整，以求解由连续模糊集导出的半无限规划问题？

主要发现

• 本文成功将分布鲁棒优化扩展至决策依赖型模糊集，实现了在两阶段随机规划中对内生不确定性的建模。
• 对于有限支持，所提出的重构形式产生具有有限约束数目的问题，使其可被全局优化求解器处理。
• 基于矩的模糊集的重构涉及通过划分支持集并施加对场景概率与矩的半无限约束而导出的半无限约束。
• 对偶的使用确保了内层最大-最小问题的精确重构，在标准正则条件下保持最优性。
• 对于连续支持，重构后的问题成为半无限规划，可通过具有紧致性与连续性条件下的有限收敛性的切面算法求解。
• 该框架在五类模糊集类型中得到验证，证明了基于对偶的方法在多样化鲁棒优化场景中的通用性与适用性。