[论文解读] Distributionally robust polynomial chance-constraints under mixture ambiguity sets

Jean B. Lasserre, Tillmann Weißer|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2018

Risk and Portfolio Optimization参考文献 51被引用 15

一句话总结

本文提出了一种在混合模糊集下对多项式机会约束进行分布鲁棒性处理的方法，利用多项式优化与半定规划构建可行集的内逼近。关键贡献在于，通过一系列基于多项式的逼近方法，随着次数增加，其在勒贝格测度下收敛于真实的可行集，从而确保在分布不确定性下的鲁棒优化具有渐近收敛性和可处理性。

ABSTRACT

Given $X \\subset R^n$, $\\varepsilon \\in (0,1)$, a parametrized family of probability distributions $(\\mu\\_{a})\\_{a\\in A}$ on $\\Omega\\subset R^p$, we consider the feasible set $X^*\\_\\varepsilon\\subset X$ associated with the {\\em distributionally robust} chance-constraint \\[X^*\\_\\varepsilon\\,=\\,\\{x \\in X :\\:{\ m Prob}\\_\\mu[f(x,\\omega)\\,>\\,0]> 1-\\varepsilon,\\,\\forall\\mu\\in M\\_a\\},\\]where $M\\_a$ is the set of all possibles mixtures of distributions $\\mu\\_a$, $a\\in A$.For instance and typically, the family$M\\_a$ is the set of all mixtures ofGaussian distributions on $R$ with mean and standard deviation $a=(a,\\sigma)$ in some compact set $A\\subset R^2$.We provide a sequence of inner approximations $X^d\\_\\varepsilon=\\{x\\in X: w\\_d(x) <\\varepsilon\\}$, $d\\in N$, where $w\\_d$ is a polynomial of degree $d$ whosevector of coefficients is an optimal solution of a semidefinite program.The size of the latter increases with the degree $d$. We also obtain the strong and highly desirable asymptotic guarantee that $\\lambda(X^*\\_\\varepsilon\\setminus X^d\\_\\varepsilon)\ o0$as $d$ increases, where $\\lambda$ is the Lebesgue measure on $X$. Same resultsare also obtained for the more intricated case of distributionally robust "joint" chance-constraints.

研究动机与目标

• 解决传统机会约束优化方法依赖于已知固定概率分布的局限性。
• 在仅掌握部分分布信息（如高斯、指数等混合分布）的情况下，开发一种适用于分布鲁棒机会约束的可处理逼近方法。
• 确保决策的可行集在由混合模糊集定义的分布族中保持鲁棒。
• 提供一个内逼近层级，随着逼近次数的增加，其在勒贝格测度下收敛于真实的鲁棒可行集。

提出的方法

• 可行集被定义为：对于所有属于混合模糊集 M_a 的分布，约束违反概率不超过 ε 的决策 x ∈ X 的集合。
• 该方法通过构造多项式 w_d(x) 的次数 d 递增的内逼近序列 X^d_ε，其中 w_d(x) < ε 定义了逼近集合。
• 多项式 w_d 的系数通过求解一个半定规划（SDP）获得，从而可通过矩-平方和（Moment-SOS）层次结构实现可处理计算。
• 该方法利用了混合分布（如高斯、指数、泊松）的矩是其参数的多项式函数这一事实，从而实现代数表示。
• 该方法适用于个体与联合机会约束，且在分布族满足弱正则性条件时具有收敛保证。
• 理论收敛性通过勒贝格测度建立：随着 d 增加，真实鲁棒集 X^*_ε 与逼近集 X^d_ε 之间的测度差趋于零。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否为在混合模糊集下的多项式机会约束，构建一个可处理且收敛的分布鲁棒可行集逼近？
• RQ2 如何确保逼近误差（在勒贝格测度下）随着逼近次数的增加而消失？
• RQ3 哪些分布族（如高斯、指数、泊松混合）的条件允许其矩的多项式表示，从而支持所提出的方法？
• RQ4 所提出的方法能否扩展至联合机会约束，即多个约束需同时以高概率成立的情形？
• RQ5 随着逼近次数 d 增加，所得到的 SDP 层次结构的计算复杂度与可扩展性如何？

主要发现

• 所提出的方法生成了一组内逼近序列 X^d_ε = {x ∈ X : w_d(x) < ε}，当 d → ∞ 时，其在勒贝格测度下收敛于真实的鲁棒可行集 X^*_ε。
• 通过求解半定规划，构造出次数为 d 的多项式 w_d(x)，从而借助矩-平方和（Moment-SOS）层次结构实现可处理计算。
• 对于高斯、指数、泊松和二项分布等混合族，其分布的矩是参数的多项式函数，满足所要求的代数结构。
• 该方法确保集合 X^*_ε \ X^d_ε 的测度随着 d 增加而趋于零，从而提供强有力的渐近收敛保证。
• 该方法适用于个体与联合机会约束，可扩展至更复杂的鲁棒优化问题。
• 对于常见的分布如高斯与指数分布，理论条件（假设 2.4 与 2.5）成立，确保了矩表示的有效性与积分的连续性。