[论文解读] Distributions of Statistics over Pattern-Avoiding Permutations

Michael Bukata, Ryan Kulwicki+4 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用 8

一句话总结

本文研究了在避免特定模式的排列中，排列统计量——上升、下降、峰、谷、双上升与双下降——的分布情况，特别关注132-和321-避免排列。通过结构分解与Dyck路径之间的双射，作者推导出每种统计量的精确计数公式，揭示了其与Catalan数及组合序列的新联系，关键成果包括321-避免排列中峰的分布，以及(132,321)-避免类中全部六种统计量的显式公式。

ABSTRACT

We consider the distribution of ascents, descents, peaks, valleys, double ascents, and double descents over permutations avoiding a set of patterns. Many of these statistics have already been studied over sets of permutations avoiding a single pattern of length 3. However, the distribution of peaks over 321-avoiding permutations is new and we relate it statistics on Dyck paths. We also obtain new interpretations of a number of well-known combinatorial sequences by studying these statistics over permutations avoiding two patterns of length 3.

研究动机与目标

• 分析经典排列统计量（上升、下降、峰、谷、双上升与双下降）在避免模式的排列中的分布。
• 将已知的单模式避免结果（如321-避免排列）扩展至双模式情形，特别是(132,321)-避免排列。
• 通过研究双模式避免类中的这些统计量，建立对已知序列的新组合解释。
• 探索排列统计量与Dyck路径之间的联系，特别是321-避免排列中峰的数量与路径结构的关系。

提出的方法

• 将(132,321)-避免排列通过增加序列的直和与斜和形式进行结构分解。
• 利用逆序与补对称性，关联不同模式类中上升与下降等统计量的分布。
• 基于最大元素的位置及初始递增段的结构，对S_n(132,321)中的排列进行归纳构造。
• 通过参数化形式（如I_a ⊖ I_b ⊕ I_{n-a-b}）上的组合计数，按统计量值枚举排列。
• 基于双射的推理，将321-避免排列中峰的数量与Dyck路径统计量联系起来。
• 应用关于Catalan数与Dyck路径的已知结果，以解释并验证所推导出的分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 321-避免排列中峰的分布是什么？它与Dyck路径有何关联？
• RQ2 (132,321)-避免类中双上升与双下降的分布行为如何？
• RQ3 具有k个上升、下降、峰或谷的(132,321)-避免排列的确切数量是多少？
• RQ4 能否从双模式避免排列的统计量中导出对已知序列的新组合解释？

主要发现

• S_n(132,321)中排列的数量恰好为–n choose 2– + 1，其中除单位元外有–n choose 2–个排列。
• S_n(132,321)中上升的分布为：在k = n-1时为1（即单位元），在k = n-2时为–n choose 2–，其余情况为0。
• 峰的分布为：在k = 0时为n（无峰），在k = 1时为–n-1 choose 2–，其余情况为0。
• 谷的分布为：在k = 0时为2，在k = 1时为–n choose 2– - 1，其余情况为0。
• 双上升的数量为：在k = n-2时为1，在k = n-3时为n，在k = n-4时为–n choose 2– - n，其余情况为0。
• 所有S_n(132,321)中的排列均无双下降，因为它们避免了321模式（即双下降模式）。