[论文解读] Distributive inverse semigroups and non-commutative Stone dualities

Mark V. Lawson, Daniel Lenz|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用 9

一句话总结

本文建立了分布式逆半群与具有谱空间身份的埃莱特群胚之间的非交换 Stone 对偶性，推广了分配格的经典 Stone 对偶性。它引入了分布式逆半群的布尔化，并表明 Exel 的紧群胚作为紧完备化的谱出现，为 $C^*$-代数理论中的非交换框架理论提供了概念基础。

ABSTRACT

We develop the theory of distributive inverse semigroups as the analogue of distributive lattices without top element and prove that they are in a duality with those etale groupoids having a spectral space of identities, where our spectral spaces are not necessarily compact. We prove that Boolean inverse semigroups can be characterized as those distributive inverse semigroups in which every prime filter is an ultrafilter; we also provide a topological characterization in terms of Hausdorffness. We extend the notion of the patch topology to distributive inverse semigroups and prove that every distributive inverse semigroup has a Booleanization. As applications of this result, we give a new interpretation of Paterson's universal groupoid of an inverse semigroup and by developing the theory of what we call tight coverages, we also provide a conceptual foundation for Exel's tight groupoid.

研究动机与目标

• 通过逆半群将经典 Stone 对偶性从分配格推广到非交换情形。
• 将布尔逆半群表征为每个素滤子都是超滤子的分布式逆半群。
• 通过谱空间和修补拓扑，为非交换框架理论建立拓扑框架。
• 利用分布式逆半群，为 Exel 的紧群胚和 Paterson 的普遍群胚提供概念基础。
• 建立逆半群中紧滤子与布尔化中素滤子之间的对偶性。

提出的方法

• 将分布式逆半群引入为无最大元的分配格的非交换类比。
• 在逆半群的谱上定义修补拓扑，并证明其具有谱性质。
• 将分布式逆半群的布尔化构造为在修补拓扑下其紧滤子的完备化。
• 在逆半群的紧滤子与布尔化的素滤子之间建立序同构。
• 利用该同构，诱导出原始半群的紧群胚与布尔化谱群胚之间的同胚。
• 将该对偶性应用于重新解释 Paterson 的普遍群胚和 Exel 的紧群胚为完备化的谱。

实验结果

研究问题

• RQ1 分布式逆半群如何作为分配格的非交换推广？
• RQ2 分布式逆半群与具有谱身份空间的埃莱特群胚之间存在何种拓扑对偶性？
• RQ3 布尔逆半群如何通过超滤子条件与分布式逆半群相关联？
• RQ4 分布式逆半群的布尔化如何为 Exel 的紧群胚提供概念基础？
• RQ5 逆半群谱上的修补拓扑与其紧滤子结构有何关系？

主要发现

• 每个分布式逆半群都存在一个布尔化，即由其紧滤子构造的布尔逆半群。
• 布尔逆半群被表征为每个素滤子都是超滤子的分布式逆半群。
• 逆半群的紧群胚与布尔化的谱群胚同胚，为 Exel 的构造提供了新解释。
• 逆半群中紧滤子与布尔化中素滤子之间的对偶性是一个序同构，该同构诱导出群胚之间的同胚。
• 分布式逆半群谱上的修补拓扑是谱拓扑，布尔化被实现为紧完备化的谱。
• Paterson 的普遍群胚被重新解释为逆半群的紧完备化的布尔化的谱。