[论文解读] Disturbance-to-State Stabilization and Quantized Control for Linear Hyperbolic Systems

Aneel Tanwani, Christophe Prieur+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 18被引用 34

一句话总结

本文提出了一种针对边界控制的线性双曲型PDE的扰动-状态稳定化框架，其中测量值受有界扰动影响。通过李雅普诺夫方法，建立了最大状态范数的估计，该估计由一个指数衰减项和一个与扰动相关的项组成，从而实现了对测量误差的鲁棒性，并支持具有实际稳定性保证的量化控制。

ABSTRACT

We consider a system of linear hyperbolic PDEs where the state at one of the boundary points is controlled using the measurements of another boundary point. Because of the disturbances in the measurement, the problem of designing dynamic controllers is considered so that the closed-loop system is robust with respect to measurement errors. Assuming that the disturbance is a locally essentially bounded measurable function of time, we derive a disturbance-to-state estimate which provides an upper bound on the maximum norm of the state (with respect to the spatial variable) at each time in terms of $\mathcal{L}^\infty$-norm of the disturbance up to that time. The analysis is based on constructing a Lyapunov function for the closed-loop system, which leads to controller synthesis and the conditions on system dynamics required for stability. As an application of this stability notion, the problem of quantized control for hyperbolic PDEs is considered where the measurements sent to the controller are communicated using a quantizer of finite length. The presence of quantizer yields practical stability only, and the ultimate bounds on the norm of the state trajectory are also derived.

研究动机与目标

• 为边界测量受有界扰动影响的线性双曲型PDE开发一种鲁棒控制框架。
• 建立一个扰动-状态稳定（DSS）估计，将最大状态范数与初始条件和扰动能量联系起来。
• 将DSS框架扩展至量化测量情形，确保具有显式最终有界性的实际稳定性。
• 推导系统动力学与控制器设计的充分条件，以通过李雅普诺夫函数实现DSS。

提出的方法

• 构建一个加权 $ L^2 $-类似范数的李雅普诺夫函数，以分析闭环系统的稳定性。
• 推导出形式为 $ \max_{z\in[0,1]}|X(z,t)| \leq c\,e^{-at}M_{X^0} + \gamma(\|d_{[0,t]}\|_{\infty}) $ 的扰动-状态估计，其中 $ \gamma \in \mathcal{K}_\infty $。
• 利用伴随算子和半群理论，证明在充分条件下闭环系统生成一个 $ C_0 $-半群，并具有指数稳定性。
• 引入具有记忆的动态控制器以处理延迟或噪声测量，确保鲁棒性。
• 通过将量化建模为有界扰动，将DSS框架应用于量化控制，实现实际稳定性。
• 推导系统矩阵 $ \Lambda, H, B $ 和控制器增益的条件，以确保合适李雅普诺夫函数的存在性和稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于李雅普诺夫的方法能否确保在有界测量扰动下线性双曲型PDE的扰动-状态稳定性？
• RQ2 系统矩阵和控制器结构需满足何种条件，才能在扰动存在下保证状态范数的指数衰减？
• RQ3 如何将量化测量建模为有界扰动，以确保双曲型PDE控制中的实际稳定性？
• RQ4 在反馈回路中使用有限长度量化器时，状态范数的最终有界值是多少？
• RQ5 DSS估计能否以初始状态和扰动的 $ \mathcal{L}^\infty $-范数表示？

主要发现

• 本文建立了扰动-状态稳定估计，其中最大状态范数被一个指数衰减项和一个与扰动的 $ \mathcal{L}^\infty $-范数相关的 $ \mathcal{K}_\infty $-函数所界定。
• 在量化控制下，状态范数的最终有界值被显式推导，其依赖于量化器分辨率和系统参数。
• 基于系统矩阵 $ \Lambda, H, B $ 和控制器增益，推导出DSS的充分条件，确保李雅普诺夫函数的存在性。
• 证明了闭环系统生成一个 $ C_0 $-半群，从而在所推导条件下保证了适定性和指数稳定性。
• 在量化控制情形下，实现了实际稳定性，其最终有界值依赖于量化误差和系统动力学。
• 分析结果表明，若扰动趋于零，则状态范数也收敛至零，从而在无扰动时保证了渐近稳定性。