[论文解读] Divergence free quantum field theory using a spectral calculus of Lorentz invariant measures

John Mashford|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2018

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文提出了一套用于闵可夫斯基空间上因果洛伦兹不变博雷尔测度的谱演算，使量子场论（QFT）测度的密度和谱能够被严格计算。研究表明，QFT中的发散积分可被处理为定义良好的洛伦兹协变测度，从而得到一个有限且收敛的运行耦合常数，该结果与实验一致，且避免了兰道极点，这与维度正规化方法不同。

ABSTRACT

This paper presents a spectral calculus for computing the spectrum of a causal Lorentz invariant Borel complex measure on Minkowski space, thereby enabling one to compute the density for such a measure with respect to Lebesque measure. It is proved that the convolution of arbitrary causal Lorentz invariant Borel measures exists and the product of such measures exists in a wide class of cases. Techniques for their computation are presented. Divergent integrals in quantum field theory (QFT) are shown to have a well defined existence as Lorentz covariant measures. The case of vacuum polarization is considered and the spectral vacuum polarization function is shown to have very close agreement with the vacuum polarization function obtained using dimensional regularization / renormalization in the timelike domain. Using the spectral vacuum polarization function the exact Uehling potential function is derived. The spectral running coupling constant is computed and is shown to converge for all energies while the integral defining the running coupling constant obtained using dimensional regularization / renormalization is shown to diverge for all non-zero energies.

研究动机与目标

• 通过将发散积分视为洛伦兹协变测度，为QFT中的发散积分提供一个数学上严格的框架。
• 通过因果测度的谱表示定义良好初始方程，消除对正则化和重整化方法的依赖。
• 在无发散的情况下计算真空极化函数和运行耦合常数，为维度正规化提供一个物理上一致的替代方案。
• 利用谱真空极化函数推导精确的乌赫林势和兰姆移位贡献。
• 建立使用谱演算重新表述QED和QCD的基础，对渐近自由和重整化具有重要意义。

提出的方法

• 开发谱演算，以计算闵可夫斯基空间上因果洛伦兹不变博雷尔复测度的谱。
• 利用谱表示推导相对于勒贝格测度的密度，从而实现物理计算。
• 将谱演算应用于真空极化张量，计算其收缩谱及由此产生的真空极化函数。
• 证明因果洛伦兹不变测度的卷积和乘积存在，并可通过谱方法进行计算。
• 通过玻恩近似利用谱真空极化函数推导乌赫林势。
• 利用谱真空极化函数计算运行耦合常数，表明其在所有能量下均收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 QFT中的发散积分能否在不使用正则化的情况下，被严格定义为洛伦兹协变测度？
• RQ2 通过谱演算导出的谱真空极化函数是否在类时区域与通过维度正规化获得的重整化函数一致？
• RQ3 能否从一个定义良好的谱真空极化函数中推导出精确的乌赫林势和兰姆移位？
• RQ4 使用谱方法计算的运行耦合常数是否在所有能量下保持有限且收敛，而不同于维度正规化方法？
• RQ5 谱演算能否扩展至QED和QCD中的自能及其他重整化问题？

主要发现

• 谱真空极化函数在类时区域与通过维度正规化获得的重整化真空极化函数高度一致。
• 精确的乌赫林势可从谱真空极化函数推导得出，从而可精确计算其对兰姆移位的贡献。
• 谱运行耦合常数在所有非零能量下均为有限且收敛，与使用维度正规化方法得到的发散积分形成鲜明对比。
• 谱运行耦合函数在高能区域的值约为1/127，与实验观测结果一致。
• 该谱方法避免了兰道极点，提供了无发散的物理上一致的运行耦合常数。
• 谱演算框架为QFT提供了数学上明确定义的基础，以严格的测度论构造替代了正则化和重整化。