[论文解读] Divergence free Virtual Elements for the Stokes problem on polygonal meshes

L. Beirão da Veiga, Carlo Lovadina+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 4被引用 14

一句话总结

本文提出了一种新型虚拟元方法（VEM）用于在多边形网格上求解Stokes问题，该方法强制实现速度近似值的逐点无散度，确保完全不可压缩性。通过精心构造速度有限元空间及自由度，该方法在实现最优收敛率的同时，通过自动消除压力和速度自由度，显著减少了自由度数量，从而相比标准VEM方法展现出更高的效率和精度。

ABSTRACT

In the present paper we develop a new family of Virtual Elements for the Stokes problem on polygonal meshes. By a proper choice of the Virtual space of velocities and the associated degrees of freedom, we can guarantee that the final discrete velocity is pointwise divergence-free, and not only in a relaxed (projected) sense, as it happens for more standard elements. Moreover, we show that the discrete problem is immediately equivalent to a reduced problem with less degrees of freedom, thus yielding a very efficient scheme. We provide a rigorous error analysis of the method and several numerical tests, including a comparison with a different Virtual Element choice.

研究动机与目标

• 为Stokes问题开发一种虚拟元方法，确保在一般多边形网格上实现速度近似的逐点无散度。
• 克服标准VEM仅以投影（弱）形式强制满足无散度条件的局限性。
• 通过速度自由度与压力自由度之间的正交性条件，消除大量自由度，从而降低计算成本。
• 提供一种稳定、收敛且计算高效的格式，适用于如Navier-Stokes等复杂流动问题。
• 通过严格的误差分析和数值基准测试，证明该方法在精度和效率上的优越性。

提出的方法

• 该方法构建一个速度虚拟元空间，使得离散核为逐点无散度，而不仅是在投影意义下。
• 精心选择自由度，以诱导压力自由度与相关联的速度自由度之间的正交性。
• 该正交性使得可自动消除大量自由度，将系统简化为每个单元仅保留一个压力自由度和少量内部速度自由度。
• 将离散问题重新表述为简化系统，显著降低计算成本，同时保持精度。
• 利用离散inf-sup条件和一致性误差估计，对方法的稳定性和收敛性进行分析。
• 应用后处理程序以重构压力解，从而实现与全系统和简化系统之间的比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为Stokes问题构造一种虚拟元方法，使其在多边形网格上确保速度近似的逐点无散度？
• RQ2 如何在不牺牲精度或稳定性的情况下，减少Stokes问题VEM中的自由度数量？
• RQ3 在一般多边形网格上，无散度VEM求解Stokes问题的收敛行为如何？
• RQ4 与扩展至Stokes问题的标准VEM方法相比，所提方法在精度和效率上表现如何？
• RQ5 简化格式是否保持了原方法的最优收敛率？

主要发现

• 所提方法在速度和压力误差上均达到理论预期的最优收敛率 $ h^k $。
• 对于相同多项式次数 $ k $，简化格式的误差显著小于标准VEM方法，尤其在 $ k=2 $ 和 $ k=3 $ 时表现突出，适用于所有测试网格。
• 速度场和压力场的误差随网格加密而减小，证实了所有网格族 $ \mathcal{V}_h $、$ \mathcal{T}_h $ 和 $ \mathcal{Q}_h $ 的理论收敛率。
• 全解与简化解之间的差异度量 $ \varepsilon(\mathbf{u}) $ 和 $ \varepsilon(p) $ 为 $ 10^{-13} $ 至 $ 10^{-12} $ 量级，证实了两种公式的等价性。
• 即使在非齐次边界条件下，该方法仍保持最优收敛性，经包含高阶多项式精确解的数值测试验证。
• 自由度的自动消除使得系统每个单元仅保留一个压力自由度和极少的内部速度自由度，显著提升了计算效率。