[论文解读] Divergence of the Chapman-Enskog expansion in relativistic kinetic theory

Gabriel S. Denicol, Jorge Noronha|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2016

Gas Dynamics and Kinetic Theory被引用 34

一句话总结

本文证明了在重离子碰撞中描述夸克胶子等离子体的关键模型——Bjorken流中，无质量气体的相对论性Chapman-Enskog（CE）展开发散。为解决此问题，作者提出了一种广义CE展开，其中包含了Knudsen数的非微扰贡献，该展开表现出数值收敛性，并在广泛的Knudsen数范围内与精确的Boltzmann方程解高度一致。

ABSTRACT

In this letter we show for the first time that the relativistic Chapman-Enskog series for a massless gas undergoing Bjorken expansion diverges. In order to fix this problem, we propose a novel type of expansion that includes non-perturbative contributions in the Knudsen number that are not considered in Chapman-Enskog theory. This approach is in good agreement with exact solutions of the Boltzmann equation for a wide range of values of Knudsen number and does not display the clear signs of divergence exhibited by the Chapman-Enskog series.

研究动机与目标

• 研究相对论性Chapman-Enskog级数在膨胀系统中的收敛性质。
• 解决相对论性输运理论中已知的CE展开不稳定性与发散问题，特别是在重离子碰撞的背景下。
• 开发一种新展开框架，以同时捕捉早期瞬态动力学与晚期流体动力学行为。
• 为中等到大Knudsen数系统提供一种数学上一致且数值收敛的替代标准CE级数的方法。

提出的方法

• 在Bjorken坐标系中，通过分布函数矩的无限组耦合常微分方程组，重新表述Boltzmann方程。
• 在碰撞项中应用弛豫时间近似（RTA），将Boltzmann方程简化为可解形式。
• 构建一种广义展开，其中包含在倒Knudsen数中的微扰项以及通过类似超序列结构的非微扰贡献。
• 通过求解矩的递推关系推导展开系数，解以倒时间尺度和初始条件表示。
• 通过在不同Knudsen数下将广义展开与Boltzmann方程的精确解进行比较，验证该方法。
• 数值测试最高至15阶，结果显示即使在早期时间也表现出稳定行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于经历Bjorken膨胀的无质量气体，相对论性Chapman-Enskog展开是否收敛？
• RQ2 一种改进的展开框架能否同时捕捉早期非平衡动力学与晚期流体动力学行为？
• RQ3 Knudsen数中的非微扰贡献在稳定级数中起什么作用？
• RQ4 广义展开与Boltzmann方程的精确解在定量上如何比较？
• RQ5 该新展开在广泛的Knudsen数范围内是否具有数值收敛性？

主要发现

• 即使在二阶时，标准相对论性Chapman-Enskog级数在无质量气体经历Bjorken膨胀时也发散。
• 所提出的广义展开包含了Knudsen数的非微扰贡献，并在最高15阶时表现出数值收敛性。
• 广义展开在广泛的Knudsen数范围内与Boltzmann方程的精确解高度一致，尤其在早期时间优于标准CE级数。
• 在晚期时间，广义展开与标准CE级数一致，但通过引入非微扰项避免了其发散。
• 早期动力学更适合用$1/K_N$的级数描述，而晚期行为则由$K_N$的级数捕捉，新方法同时覆盖了这两个区域。
• 广义展开的收敛性对不同的初始条件（包括局部平衡与非平衡态）均表现稳健。