[论文解读] Divergence of the multilevel Monte Carlo method

Martin Hutzenthaler, Arnulf Jentzen+1 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2011

Stochastic processes and financial applications被引用 8

一句话总结

本文证明，对于具有超线性增长、全局单边Lipschitz漂移系数的非线性SDE，多水平蒙特卡洛Euler方法即使在概率为1的事件上也会发散——与经典蒙特卡洛方法相反。本文提出在多水平框架中用稳定化Euler方法替代标准Euler格式，从而恢复收敛性，同时保持方法的高效率。

ABSTRACT

The Euler-Maruyama scheme is known to diverge strongly and numerically weakly when applied to nonlinear stochastic differential equations (SDEs) with superlinearly growing and globally one-sided Lipschitz continuous drift coefficients. Classical Monte Carlo simulations do, however, not suffer from this divergence behavior of Euler's method because this divergence behavior happens on rare events. Indeed, for such nonlinear SDEs the classical Monte Carlo Euler method has been shown to converge by exploiting that the Euler approximations diverge only on events whose probabilities decay to zero very rapidly. Significantly more efficient than the classical Monte Carlo Euler method is the recently introduced multilevel Monte Carlo Euler method. The main observation of this article is that this multilevel Monte Carlo Euler method does - in contrast to classical Monte Carlo methods - not converge in general in the case of such nonlinear SDEs. More precisely, we establish divergence of the multilevel Monte Carlo Euler method for a family of SDEs with superlinearly growing and globally one-sided Lipschitz continuous drift coefficients. In particular, the multilevel Monte Carlo Euler method diverges for these nonlinear SDEs on an event that is not at all rare but has probability one. As a consequence for applications, we recommend not to use the multilevel Monte Carlo Euler method for SDEs with superlinearly growing nonlinearities. Instead we propose to combine the multilevel Monte Carlo method with a slightly modified Euler method. More precisely, we show that the multilevel Monte Carlo method combined with a tamed Euler method converges for nonlinear SDEs with globally one-sided Lipschitz continuous drift coefficients and preserves its strikingly higher order convergence rate from the Lipschitz case.

研究动机与目标

• 研究具有超线性增长漂移系数的非线性SDE的多水平蒙特卡洛Euler方法的收敛行为。
• 阐明为何在这些情况下多水平蒙特卡洛方法会失效，尽管经典蒙特卡洛方法仍保持收敛。
• 提出一种改进的数值格式，确保收敛性的同时保留多水平方法的计算优势。
• 在单边Lipschitz条件下，建立多水平蒙特卡洛方法与稳定化Euler格式结合后的理论收敛性。

提出的方法

• 分析具有超线性增长、全局单边Lipschitz漂移系数的SDE族中，多水平蒙特卡洛Euler方法的发散行为。
• 证明发散现象发生在概率为1的事件上，而非罕见事件，这与经典蒙特卡洛方法不同。
• 引入稳定化Euler方法以稳定具有非线性漂移的SDE的数值逼近。
• 将稳定化Euler方法与多水平蒙特卡洛框架结合，以确保收敛性。
• 证明所得到的方法保留了Lipschitz情况下观察到的高阶收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有超线性增长、全局单边Lipschitz漂移系数的SDE，多水平蒙特卡洛Euler方法是否收敛？
• RQ2 为何多水平蒙特卡洛Euler方法在这些情况下会发散，而经典蒙特卡洛方法仍保持收敛？
• RQ3 能否通过修改底层数值格式，使多水平蒙特卡洛方法适用于这些非线性SDE？
• RQ4 将稳定化Euler方法与多水平蒙特卡洛方法结合后，是否仍能保持Lipschitz情况下观察到的高收敛速率？

主要发现

• 对于具有超线性增长、全局单边Lipschitz漂移系数的SDE，多水平蒙特卡洛Euler方法在概率为1的事件上发散。
• 这种发散是因为数值不稳定性并非局限于罕见事件，与经典蒙特卡洛方法不同。
• 因此，标准多水平蒙特卡洛Euler方法在这些非线性SDE中不可靠。
• 用稳定化Euler方法替代标准Euler格式，可恢复多水平蒙特卡洛框架中的收敛性。
• 所得到的方法保持了Lipschitz情况下多水平蒙特卡洛方法特有的高收敛速率。