[论文解读] Divergence radii and the strong converse exponent of classical-quantum channel coding with constant compositions

Milán Mosonyi, Tomohiro Ogawa|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2018

Wireless Communication Security Techniques参考文献 57被引用 5

一句话总结

本文利用夹心Rényi散度，建立了经典-量子信道编码中恒定组成码的强合适数率。证明了该数率为Rényi散度半径的上确界，将Csiszár的经典结果推广至量子领域，并具有广义截止速率的运行解释。

ABSTRACT

There are different inequivalent ways to define the Rényi capacity of a channel for a fixed input distribution $P$. In a 1995 paper Csiszár has shown that for classical discrete memoryless channels there is a distinguished such quantity that has an operational interpretation as a generalized cutoff rate for constant composition channel coding. We show that the analogous notion of Rényi capacity, defined in terms of the sandwiched quantum Rényi divergences, has the same operational interpretation in the strong converse problem of classical-quantum channel coding. Denoting the constant composition strong converse exponent for a memoryless classical-quantum channel $W$ with composition $P$ and rate $R$ as $sc(W,R,P)$, our main result is that \[ sc(W,R,P)=\sup_{α>1}\frac{α-1}α\left[R-χ_α^*(W,P) ight], \] where $χ_α^*(W,P)$ is the $P$-weighted sandwiched Rényi divergence radius of the image of the channel.

研究动机与目标

• 将Csiszár关于Rényi容量和广义截止速率的经典结果推广至量子领域。
• 表征恒定组成编码下经典-量子信道的强合适数率。
• 表明夹心Rényi散度半径在量子情形下发挥与经典信道中广义截止速率相同的操作作用。
• 以Rényi互信息和散度半径的形式，提供强合适数率的可计算表达式。

提出的方法

• 使用夹心Rényi散度 $ D_{\bar{\alpha}}^{*} $ 定义经典-量子信道的 $ P $-加权Rényi散度半径 $ \chi_{\alpha}^{*}(W,P) $。
• 通过输出态 $ \sigma $ 的下确界，应用Rényi互信息与散度半径之间的对偶性。
• 采用大偏差分析与变分技术推导强合适数率。
• 依赖于散度半径与Rényi互信息之间的对偶性，以 $ \alpha > 1 $ 上的上确界形式表达数率。
• 利用正算子差值正部的迹范数极限分析误差行为。
• 应用引理D.1与推论D.2，将迹范数的渐近行为与Rényi散度及其在 $ \alpha = 1 $ 处的导数关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在恒定组成编码下，经典-量子信道的强合适数率是什么？
• RQ2 夹心Rényi散度半径是否在量子情形下发挥与经典信道中广义截止速率相同的操作作用？
• RQ3 在量子设置下，强合适数率能否以Rényi互信息和散度半径的形式表达？
• RQ4 Rényi散度半径与强合适数率下的误差指数有何关系？
• RQ5 是否存在Csiszár关于恒定组成码广义截止速率的经典结果的量子类比？

主要发现

• 恒定组成码下经典-量子信道的强合适数率由 $ \mathrm{sc}(W,R,P) = \sup_{\alpha>1} \frac{\alpha-1}{\alpha} \left[ R - \chi_{\alpha}^{*}(W,P) \right] $ 给出，其中 $ \chi_{\alpha}^{*}(W,P) $ 为 $ P $-加权夹心Rényi散度半径。
• Rényi散度半径 $ \chi_{\alpha}^{*}(W,P) $ 定义为输出态 $ \sigma $ 上Rényi散度的 $ P $-加权和的下确界。
• 当速率低于Holevo容量时，强合适数率趋于零；当速率高于Holevo容量时，其指数发散，与量子渐近理论一致。
• 累积生成函数 $ \psi(\alpha) $ 在 $ \alpha = 1 $ 处的导数给出相对熵 $ \sum_x P(x) D(V(x)\|W(x)) $，将数率与经典散度联系起来。
• 结果证实，夹心Rényi散度半径在量子情形下充当经典广义截止速率的类比。
• 证明依赖于迹范数渐近分析以及Rényi互信息与散度半径之间的对偶性，将经典大偏差技术推广至量子设置。