[论文解读] Diverging sequences of unit volume invariant metrics with bounded curvature

Francesco Pediconi|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用 8

一句话总结

本文研究了在紧致、连通、几乎有效齐次空间 G/H 上，单位体积 G-不变黎曼度量的发散序列，其曲率有界。证明此类序列必须渐近地趋近于纤维丛结构，其中中间子群 K 满足 K/H 为环面，推广了关于 0-Palais-Smale 序列的早期结果，并证实了关于齐次环面丛结构的猜想。

ABSTRACT

We study 1-parameter families in the space $\\mathscr{M}^G_1$ of $G$-invariant, unit volume metrics on a given compact, connected, almost-effective homogeneous space $M=G/H$. In particular, we focus on diverging sequences, i.e. which are not contained in any compact subset of $\\mathscr{M}^G_1$, and we prove some structure results for those which have bounded curvature. We also relate our results to an algebraic version of collapse.

研究动机与目标

• 理解紧致齐次空间 G/H 上单位体积 G-不变度量发散序列的几何与代数结构。
• 通过去除要求迹零里奇张量为零的限制，推广 [7, 定理 2.1]。
• 确认发散的 0-Palais-Smale 序列意味着齐次环面丛结构存在的猜想。
• 通过收缩特征值的特征空间，建立此类发散序列的纯代数且可构造的刻画。
• 将这些序列的几何行为与具有收缩纤维的子mersion型纤维丛结构联系起来。

提出的方法

• 分析空间 M^G_1 中 1-参数族的 G-不变单位体积度量。
• 将发散序列中收缩特征值对应的特征空间之和识别为中间李代数 l ⊂ g 中 h = Lie(H) 的再分补。
• 构造一个中间李子群 L，满足 H ⊂ L ⊂ G，可能不闭，使得其闭包 K = L̄ 满足 K/H 为环面。
• 利用曲率有界 |sec(g^(n))| ≤ C 控制度量序列的渐近行为。
• 应用 [6] 中的估计 |Rm(g)|_g ≤ C|Ric(g)|_g，证明当 Ric^o → 0 时，序列具有有界曲率。
• 证明序列渐近地趋近于纤维丛 L/H → G/H → G/L 上的子mersion型度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致齐次空间 G/H 上，何种条件下可存在具有有界曲率的发散单位体积 G-不变度量序列？
• RQ2 G 的李代数中必须具备何种代数结构，以支持此类具有有界曲率的发散序列？
• RQ3 具有有界曲率的发散序列的存在是否意味着存在中间子群 K，使得 K/H 为环面？
• RQ4 此类序列的渐近行为如何与齐次纤维丛 G/H 上的黎曼子mersion结构相关？
• RQ5 在有界曲率假设下，能否确认 G/H 为齐次环面丛的猜想？

主要发现

• 任何具有有界曲率的发散序列 (g^(n)) ⊂ M^G_1，其收缩特征值对应的特征空间之和必须构成中间李代数 l ⊂ g 中 h 的再分补。
• 由此推出存在严格中间的李子群 L，满足 H ⊂ L ⊂ G，使得其闭包 K = L̄ 满足 K/H 为环面。
• 序列 (g^(n)) 渐近地趋近于纤维丛 L/H → G/H → G/L 上的子mersion型度量，且纤维随 n → ∞ 而收缩。
• 该结果通过去除迹零里奇张量为零的要求，推广了 [7, 定理 2.1]。
• 曲率估计 |Rm(g)|_g ≤ C|Ric(g)|_g 确保 0-Palais-Smale 序列（scal(g^(n)) → 0，|Ric^o(g^(n))| → 0）具有有界曲率，因此落入定理 A 的适用范围。
• 在有界曲率假设下，[7, 第 697 页] 中关于 G/H 为齐次环面丛的猜想得到证实。