[论文解读] Divide-And-Conquer Computation of Cylindrical Algebraic Decomposition

Adam Strzeboński|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2014

Polynomial and algebraic computation参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于柱状代数分解（CAD）的分治方法，该方法将复杂的多项式系统划分为更小的子公式，对每个子公式分别计算CAD，并使用布尔组合算法进行合并。该方法结合基于图的启发式策略与参数 $ p = 0.75 $，在平均情况下相比直接CAD实现了最高达3.96倍的加速，尤其适用于不同项之间多项式重叠较少的析取系统。

ABSTRACT

We present a divide-and-conquer version of the Cylindrical Algebraic Decomposition (CAD) algorithm. The algorithm represents the input as a Boolean combination of subformulas, computes cylindrical algebraic decompositions of solution sets of the subformulas, and combines the results. We propose a graph-based heuristic to find a suitable partitioning of the input and present empirical comparison with direct CAD computation.

研究动机与目标

• 提升大型或复杂实多项式系统进行柱状代数分解（CAD）的效率。
• 解决直接CAD在具有大量析取项的系统上计算成本过高的问题。
• 通过将输入分解为共享多项式最少的子公式，开发一种可扩展、模块化的CAD方法。
• 评估基于图划分与参数化启发式的分治CAD的性能。

提出的方法

• 该算法将实多项式系统 $ S $ 分解为布尔组合 $ \bigvee_{i=1}^m P_i $，其中每个 $ P_i $ 为一个子公式。
• 基于图的启发式方法构建一个图，顶点代表析取项，边基于共享多项式生成，使用权重阈值参数 $ p $。
• 图中的连通分量定义了子公式 $ P_1, \dots, P_m $，从而最小化它们之间的多项式重叠。
• 每个 $ P_i $ 通过标准CAD处理，生成一个柱状代数公式（CAF）。
• 结果通过CAFCombine算法合并，重建出等价于原始 $ S $ 的CAF。
• 参数 $ p $ 控制划分的敏感度：$ p $ 越高，划分越粗糙，子公式间越不重叠。

实验结果

研究问题

• RQ1 分治策略是否能降低大型析取系统CAD计算的计算成本？
• RQ2 划分启发式的选取如何影响CAD计算的性能？
• RQ3 在基于图的划分算法中，参数 $ p $ 取何值时能在多种输入上实现最佳性能？
• RQ4 在何种情况下分治CAD优于直接CAD，且加速比为多少？

主要发现

• 在[5]中的12个基准示例上，使用 $ p = 0.75 $ 的DivideAndConquerCAD相比直接CAD平均实现了2.25倍的加速。
• 在14个随机示例中，使用 $ p = 0.75 $ 的DivideAndConquerCAD比直接CAD至少快3.96倍，且在两个示例中直接CAD在1200秒内未能完成。
• 在[5]的12个示例中，有9个示例的DivideAndConquerCAD（$ p = 0.75 $）比直接CAD更快；在3个示例中更慢。
• 当输入为析取式且子公式间共享多项式极少时，该方法最为有效，这与基于图的划分启发式一致。
• 在基准示例与随机示例的平均性能上，$ p = 0.75 $ 均显著优于 $ p = 0.25, 0.5, 1 $。
• 在28个示例中的10个，即使 $ p = 1 $ 的划分也导致性能劣于直接CAD，表明过度精细的划分可能适得其反。