[论文解读] Divided Differences

Carl de Boor|ArXiv.org|Feb 1, 2005

Statistical Methods in Clinical Trials参考文献 2被引用 82

一句话总结

本文通过牛顿插值形式中的系数，提出了一种新颖的、功能性的单变量差商定义，利用线性代数和多项式除法建立其性质。证明了差商具有对称性、连续性，并对应于埃尔米特插值，其关键结果为多项式乘积的差商提供了类莱布尼茨公式。

ABSTRACT

Starting with a novel definition of divided differences, this essay derives and discusses the basic properties of, and facts about, (univariate) divided differences.

研究动机与目标

• 建立差商作为牛顿插值形式中系数的严格、功能性定义。
• 利用多项式基理论分析差商的对称性、连续性和线性性质。
• 证明牛顿形式在给定点及其重数下提供唯一的埃尔米特插值。
• 推导多项式乘积的差商的类莱布尼茨公式。
• 通过引入符号 Δ̸ 提出一致且无冲突的记号，以解决记号歧义问题。

提出的方法

• 将差商定义为多项式 $ p $ 在牛顿展开中关于中心 $ t_1, \ldots, t_j $ 的系数 $ \mathord{\kern 4.29993pt\vrule width=0.6pt,height=5.6pt,depth=-0.28pt\kern-4.19998pt\Delta}(t_1,\ldots,t_j)p $。
• 使用牛顿基 $ w_{j-1,t} = (\cdot - t_1)\cdots(\cdot - t_{j-1}) $ 构造次数小于 $ n $ 的多项式空间的分次基。
• 证明从系数序列到多项式的映射 $ W_t $ 可逆，确保表示的唯一性，并将差商定义为 $ (W_t^{-1}p)(j) $。
• 证明 $ \mathord{\kern 4.29993pt\vrule width=0.6pt,height=5.6pt,depth=-0.28pt\kern-4.19998pt\Delta}(t_1,\ldots,t_j)p $ 关于 $ t_i $ 对称，关于 $ t $ 连续，并在次数小于 $ j-1 $ 的多项式上为零。
• 推导差商乘积 $ f g $ 的类莱布尼茨公式，将其表达为低阶差商乘积的和。
• 提出使用 $ \mathord{\kern 4.29993pt\vrule width=0.6pt,height=5.6pt,depth=-0.28pt\kern-4.19998pt\Delta}(t_1,\ldots,t_j)p $ 记号，以避免与区间、矩阵或内积记号的冲突。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在独立于有限差分表的前提下，严格定义差商为牛顿插值形式中的系数？
• RQ2 差商的基本代数与解析性质是什么，例如对称性与连续性？
• RQ3 牛顿形式如何与埃尔米特插值关联？为何其在 $ n $ 个具有重数的点上是次数小于 $ n $ 的唯一插值？
• RQ4 能否为两个多项式乘积的差商推导出莱布尼茨法则？
• RQ5 何种记号可作为差商的最优表示，以避免与标准数学符号冲突？

主要发现

• 差商是多项式空间上的良好定义的线性泛函，其中 $ \mathord{\kern 4.29993pt\vrule width=0.6pt,height=5.6pt,depth=-0.28pt\kern-4.19998pt\Delta}(t_1,\ldots,t_j)p $ 是多项式 $ p $ 的牛顿展开中 $ w_{j-1,t} $ 的系数。
• 差商 $ \mathord{\kern 4.29993pt\vrule width=0.6pt,height=5.6pt,depth=-0.28pt\kern-4.19998pt\Delta}(t_1,\ldots,t_j)p $ 关于点 $ t_1, \ldots, t_j $ 对称，反映了牛顿基的对称性。
• 差商关于中心 $ t_1, \ldots, t_j $ 连续，因为它是连续映射 $ W_t $ 的逆。
• 牛顿形式的前 $ n $ 项构成在 $ t_1, \ldots, t_n $ 处次数小于 $ n $ 的唯一埃尔米特插值，其在每个具有重数 $ \mu_z $ 的点 $ z $ 处与 $ p $ 及其阶数小于 $ \mu_z - 1 $ 的导数完全匹配。
• 推导出类莱布尼茨公式：$ \mathord{\kern 4.29993pt\vrule width=0.6pt,height=5.6pt,depth=-0.28pt\kern-4.19998pt\Delta}(s_{1:m})fg = \sum_{i=1}^{m} (s_i - t_{i+p}) \mathord{\kern 4.29993pt\vrule width=0.6pt,height=5.6pt,depth=-0.28pt\kern-4.19998pt\Delta}(s_{1:i})w_{i+p,t} \cdot \mathord{\kern 4.29993pt\vrule width=0.6pt,height=5.6pt,depth=-0.28pt\kern-4.19998pt\Delta}(t_{1:i+p},s_{i:m}) $，其中 $ p = n - m $。
• 提出使用 $ \mathord{\kern 4.29993pt\vrule width=0.6pt,height=5.6pt,depth=-0.28pt\kern-4.19998pt\Delta}(t_1,\ldots,t_j)p $ 作为标准记号的无歧义、直观且一致的替代方案。