[论文解读] Dividing by zero - how bad is it, really?

Takayuki Kihara, Arno Pauly|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2016

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文通过 Weihrauch 归约研究了鲁棒除法的计算强度——即当除数可能为零时计算商的计算能力。研究发现，鲁棒除法以嵌套深度为二的顺序使用，足以实现完整的计算能力，解决了可计算分析中的一个开放问题，并使得高斯消去法等应用成为可能。

ABSTRACT

In computable analysis testing a real number for being zero is a fundamental example of a non-computable task. This causes problems for division: We cannot ensure that the number we want to divide by is not zero. In many cases, any real number would be an acceptable outcome if the divisor is zero - but even this cannot be done in a computable way. In this note we investigate the strength of the computational problem "Robust division": Given a pair of real numbers, the first not greater than the other, output their quotient if well-defined and any real number else. The formal framework is provided by Weihrauch reducibility. One particular result is that having later calls to the problem depending on the outcomes of earlier ones is strictly more powerful than performing all calls concurrently. However, having a nesting depths of two already provides the full power. This solves an open problem raised at a recent Dagstuhl meeting on Weihrauch reducibility. As application for "Robust division", we show that it suffices to execute Gaussian elimination.

研究动机与目标

• 确定鲁棒除法的计算强度，其中除以零时返回任意实数而非失败。
• 解决在 Weihrauch 归约背景下多个鲁棒除法调用相互作用的开放问题。
• 证明鲁棒除法足以通过高斯消去法求解线性方程组。
• 澄清鲁棒除法与经典非构造性原理（如 LLPO 和 LPO）之间的层次关系。
• 研究在可计算分析中，鲁棒除法的顺序使用与并行使用哪个更具计算能力。

提出的方法

• 使用 Weihrauch 归约，正式比较鲁棒除法与其他原理的计算能力。
• 将鲁棒除法建模为多值函数，当除数为零时输出任意实数。
• 使用实现实和表示空间，通过 Type-2 机器形式化实数上的可计算性。
• 通过使用鲁棒除法在值为零时仍能计算主元系数，将高斯消去法归约为鲁棒除法。
• 应用选择绝对值最大的主元的原则，以确保可计算地归约为鲁棒除法。
• 使用辅助函数 C_{–} 和 AoUC，以在消去过程中处理情况区分和符号信息。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Weihrauch 归约中，鲁棒除法的顺序使用是否严格强于并发使用？
• RQ2 实现完整计算能力所需的鲁棒除法最小嵌套深度是多少？
• RQ3 鲁棒除法能否用于计算 LU 分解并借助高斯消去法求解线性方程组？
• RQ4 在 Weihrauch 格中，鲁棒除法与 LLPO 和 LPO 的强度如何比较？
• RQ5 带有主元选择的 LU 分解问题是否可归约为鲁棒除法？

主要发现

• 鲁棒除法严格强于 LLPO 和 LPO，表明其在 Weihrauch 格中处于一个独立的中间位置。
• 鲁棒除法以嵌套深度为二的顺序使用，已足够实现该问题的完整计算能力。
• 鲁棒除法与通过高斯消去法求解线性方程组的问题等价。
• 问题 LU-Decomp_{P,Q}（带主元选择）与 rDiv* Weihrauch 等价，而 LU-Decomp_Q 可归约为 rDiv* star rDiv*。
• 即使主元项为零，高斯消去法到鲁棒除法的归约仍是有效且可计算的。
• 涉及 B(ε) 的反例表明，LU 分解可从鲁棒除法中提取任意实数，从而确认其非平凡的计算强度。