[论文解读] Divisibility in rings of integer-valued polynomials

Felix Gotti, Bangzheng Li|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2021

Rings, Modules, and Algebras参考文献 24被引用 7

一句话总结

本文研究整值多项式环中的可除性性质，首次建立了不满足主理想升链条件（ACCP）的原子环类。证明了当且仅当 R 是有限因子分解域（FFD）时，Int(S,R) 是 FFD，并表明原子性与 idf-域性质通常不会从 R 传递到 Int(S,R)，尽管当 R 是 IFD 时，Int({s},R) 是 idf-域。

ABSTRACT

In this paper, we address various aspects of divisibility by irreducibles in rings consisting of integer-valued polynomials. An integral domain is called atomic if every nonzero nonunit factors into irreducibles. Atomic domains that do not satisfy the ascending chain condition on principal ideals (ACCP) have proved to be elusive, and not many of them have been found since the first one was constructed by A. Grams in 1974. Here we exhibit the first class of atomic rings of integer-valued polynomials without the ACCP. An integral domain is called a finite factorization domain (FFD) if it is simultaneously atomic and an idf-domain (i.e., every nonzero element is divisible by only finitely many irreducibles up to associates). We prove that a ring is an FFD if and only if its ring of integer-valued polynomials is an FFD. In addition, we show that neither being atomic nor being an idf-domain transfer, in general, from an integral domain to its ring of integer-valued polynomials. In the same class of rings of integer-valued polynomials, we consider further properties that are defined in terms of divisibility by irreducibles, including being Cohen-Kaplansky and being Furstenberg.

研究动机与目标

• 识别并构造第一类不满足主理想升链条件（ACCP）的整值多项式原子环。
• 刻画整值多项式环 Int(S,R) 为有限因子分解域（FFD）的条件，证明其为 FFD 当且仅当 R 是 FFD。
• 研究从整环 R 到其整值多项式环 Int(S,R) 的可除性性质（特别是原子性、idf-域及 Furstenberg 域结构）的传递性。
• 确定当 R 是 IFD 时，Int(S,R) 保持为 idf-域的条件，尤其针对 R 的有限子集 S。
• 证明 Cohen-Kaplansky 域（CKD）不可能作为整值多项式环出现，并通过特定构造生成非原子的 idf-域。

提出的方法

• 通过修改 A. Grams 在 1974 年提出的例子，构造一类不满足 ACCP 的整值多项式原子环。
• 应用 Gregory-Newton 公式，将 Int(Z) 的元素表示为二项式系数的 Z-线性组合，利用其自由 Z-模结构。
• 使用可除性群与相伴类分析 Int(S,R) 中不可约因子，特别关注不可约因子在相伴关系下的有限性。
• 通过从 Int(S,R) 中不可约元的相伴类到 K[x] 中相伴类的单射映射，证明当 R 是 IFD 时，Int({s},R) 的不可约因子是有限的。
• 利用有理锥幺半群构造反例，表明当 |S| > 1 时，即使 R 是 IFD，Int(S,R) 也可能不是 idf-域。
• 通过将有限 S 的 Int(S,R) 结构约化为商域 K 上的多项式因式分解，并分析不可约元的根条件，研究其结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在不满足主理想升链条件（ACCP）的整值多项式原子环？
• RQ2 当 R 是 FFD 时，整值多项式环 Int(S,R) 在何种条件下是有限因子分解域（FFD）？
• RQ3 idf-域性质（每个元素仅有有限个非相伴不可约因子）是否从 R 传递到 Int(S,R)？若不传递，其成立的条件是什么？
• RQ4 是否可能在整值多项式环中构造出非原子的 idf-域？若是，如何实现？
• RQ5 整值多项式环是否可能成为 Cohen-Kaplansky 域（CKD），即仅包含有限个在相伴关系下不同的不可约元？

主要发现

• 本文构造了首个已知的不满足 ACCP 的整值多项式原子环类，解决了长期存在的无 ACCP 原子域分类中的空白。
• 证明了 Int(S,R) 是 FFD 当且仅当 R 是 FFD，确立了有限因子分解域结构的强传递性质。
• 表明原子性与 idf-域性质通常不会从 R 传递到 Int(S,R)，证明这些性质在 Int(S,R) 构造下一般不被保持。
• 对任意整环 R 和单元素集 S={s}，Int({s},R) 是 idf-域当且仅当 R 是 IFD，为 |S|=1 的有限 S 提供了完整刻画。
• 本文构造了一个反例，表明当 |S| ≥ 2 时，即使 R 是 IFD，Int(S,R) 也可能不是 idf-域，从而证明了单元素集条件的必要性。
• 证明了任何整值多项式环都不可能是 Cohen-Kaplansky 域，因为此类环总是包含无限多个非相伴不可约元。