[论文解读] Divisibility sequences of polynomials and heights estimates

Bartosz Naskręcki|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2016

Vietnamese History and Culture Studies被引用 7

一句话总结

该论文为任意特征的函数域上的椭圆除法序列中非初等因子的数量建立了显式、统一的上界。通过利用Shioda的高斯公式以及[9]和[19]中关于最小高斯的界，作者证明了在特征0或p ≥ 5（在驯服和普通性条件下）的函数域上的椭圆曲线中，序列中除有限多项外的所有项均具有初等赋值，且该上界仅依赖于亏格、欧拉示性数或额外不变量（如纯不可分度和域大小）。

ABSTRACT

In this note we compute a constant $N$ that bounds the number of non--primitive divisors in elliptic divisibility sequences over function fields of any characteristic. We improve a result of Ingram--Mah{\'e}--Silverman--Stange--Streng, 2012, and we show that the constant can be chosen independently of the specific point and to some extent of the specific curve, as predicted in loc. cit.

研究动机与目标

• 通过为函数域上的椭圆除法序列中非初等因子的数量提供显式、统一的上界，解决[11]中的一个猜想。
• 将非初等因子的有限性结果推广至任意特征的函数域，包括正特征，前提是在适当条件下。
• 推导出不依赖于特定点P的界，且在许多情况下也不依赖于曲线E，如先前研究中所预测的。
• 分析当存在野性或非普通约化时统一上界失效的原因，特别是当[p]-映射具有纯不可分度p²时。

提出的方法

• 利用Shioda在椭圆曲面上的典范高斯的显式公式，将点的高斯与曲面的几何联系起来。
• 应用[9]和[19]中关于非 torsion 点的最小典范高斯的有效下界，以控制除法序列中高斯的增长。
• 依赖Shioda-Tate公式，将欧拉示性数χ(S)用椭圆曲面的奇异纤维表示。
• 在椭圆曲面S上使用交点理论，计算除子DnP的次数，并与m < n时DmP的次数之和进行比较。
• 分析点的倍数的x坐标赋值，以检测初等赋值，尤其在例子中。
• 利用坏纤维处的分量群结构，计算高斯配对的局部贡献。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为函数域上椭圆除法序列中非初等因子的数量给出一个统一的上界，且不依赖于特定点P？
• RQ2 此类上界的存在性如何依赖于基域的特征，特别是在正特征情况下？
• RQ3 椭圆曲线的哪些条件（例如驯服性、普通性、[p]-映射的纯不可分度）是此类上界存在的充分必要条件？
• RQ4 当[p]-映射具有纯不可分度p²时，为何统一上界会失效？曲线的哪些结构特征会导致无穷多个非初等因子？
• RQ5 能否基于亏格、欧拉示性数和域大小等不变量，为非初等因子的数量推导出有效界？

主要发现

• 在特征0下，存在一个仅依赖于基曲线C的亏格的统一上界N = N(g(C))，使得对所有n ≥ N，除子DnP具有初等赋值。
• 在特征0下，一个仅依赖于椭圆曲面S的欧拉示性数的上界N = N(χ(S))也足以保证所有n ≥ N时DnP的初等性。
• 在特征p ≥ 5下，在普通性和驯服性条件下，存在一个显式上界N = N(g(C), p, r)，其中r是j-不变量映射的纯不可分度。
• 在野性情况下（p ≥ 5，普通，但纯不可分度为p），存在一个上界N = N(g(C), χ(S), p, r, s)，其中s是常数域F_q的指数，且q = p^s。
• 当[p]-映射具有纯不可分度p²时，该上界失效；在此类情况下，构造了具有无穷多个非初等因子的例子。
• 对于F_p(t)上曲线y² = x³ + αx + β且E₀为超奇异的情况，序列{D_{p^k P}}的支集仅位于∞，且对所有k ≥ 1均为非初等，表明存在无穷多个非初等项。