[论文解读] Division Algebras and Non-Commensurable Isospectral Manifolds

Alexander Lubotzky, Beth Samuels+1 more|ArXiv.org|Jan 5, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 12

一句话总结

本文证明了对于 $π\mathrm{GL}_d(F)$，其中 $F = \mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 且 $d \geq 3$，存在任意大的一族紧致、同谱但不共轭的局部对称流形。该构造依赖于具有相同分歧但不同不变量的除法代数导出的算术格，利用 $L^2$-空间的表示论同构确保同谱性，同时避免共轭性。

ABSTRACT

A. Reid showed that if $Γ_1$ and $Γ_2$ are arithmetic lattices in $G = \operatorname{PGL}_2(\mathbb R)$ or in $\operatorname{PGL}_2(\mathbb C)$ which give rise to isospectral manifolds, then $Γ_1$ and $Γ_2$ are commensurable (after conjugation). We show that for $d \geq 3$ and ${\mathcal S} = \operatorname{PGL}_d(\mathbb R) / \operatorname{PGO}_d(\mathbb R)$, or ${\mathcal S} = \operatorname{PGL}_d(\mathbb C) / \operatorname{PU}_d(\mathbb C)$, the situation is quite different: there are arbitrarily large finite families of isospectral non-commensurable compact manifolds covered by $\mathcal S$. The constructions are based on the arithmetic groups obtained from division algebras with the same ramification points but different invariants.

研究动机与目标

• 为解决在秩 2 与更高秩之间同谱流形的对比：在 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{R})$ 和 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{C})$ 中，共轭性是强制的，但在更高秩中并非如此。
• 显式构造覆盖对称空间 $\mathcal{S} = \mathrm{PGL}_d(F)/K$ 的同谱但不共轭的紧致流形族，其中 $d \geq 3$。
• 表明 Sunada 方法通常产生共轭的同谱流形，但可通过除法代数算术群扩展为产生非共轭例子。
• 建立在高秩对称空间中，同谱性不蕴含共轭性，挑战了秩 2 情况下的预期。

提出的方法

• 从具有相同分歧集但不同不变量的全球域上的除法代数构造算术格 $\Gamma_i$。
• 利用表示论同构 $\mathrm{L}^2(\Gamma_1 \backslash G) \cong \mathrm{L}^2(\Gamma_2 \backslash G)$ 作为 $G$-模，确保商流形的同谱性。
• 通过伽罗瓦覆叠 $X_0 \to X$ 应用 Sunada 方法，其中子群 $H_1, H_2 \leq H$ 满足共轭类交集相等。
• 在环 $R_0$ 和 $R_{0,T}$ 上定义同余子群 $G'_i(R_0, I)$，以控制格结构并确保 $L^2$-同构。
• 利用 $\mathrm{L}^2(\Lambda_1 \backslash G(F)) \cong \mathrm{L}^2(\Lambda_2 \backslash G(F))$ 的事实，其中离散子群 $\Lambda_i$ 由 $U^{(r)}J_i^0$ 构造，且满足 $[J_1 : J_1^0] = [J_2 : J_2^0]$，以推导同谱性。
• 利用商 $G'(\mathbb{A}) / \Delta_i G(F) U^{(r)} J_i^0$ 对 $i$ 的独立性，建立所生成流形的 $L^2$-同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在高秩对称空间 $\mathrm{PGL}_d(F)/K$（$d \geq 3$）中构造出同谱但不共轭的紧致流形？
• RQ2 在高秩局部对称空间中，同谱性是否像秩 2 情况中那样蕴含共轭性？
• RQ3 具有相同分歧但不同不变量的除法代数能否产生同谱但不共轭的算术格？
• RQ4 $L^2$-同构 $\mathrm{L}^2(\Gamma_i \backslash G)$ 是否足以确保对应流形的同谱性？
• RQ5 Sunada 方法能否被调整为通过非共轭子群（具有相等的共轭类交集大小）产生非共轭的同谱流形？

主要发现

• 对每个 $m \in \mathbb{N}$，存在 $m$ 个在 $\mathrm{PGL}_d(F)$ 中的无扭、共(compact)算术格 $\Gamma_1, \dots, \Gamma_m$，其中 $d \geq 3$，使得商 $\Gamma_i \backslash \mathcal{S}$ 是同谱的。
• 所构造的流形两两不共轭，即任意两个均不共享有限叶的公共覆叠。
• 同谱性源于 $L^2$-空间的同构 $\mathrm{L}^2(\Gamma_i \backslash G) \cong \mathrm{L}^2(\Gamma_j \backslash G)$ 作为 $G$-表示。
• 该构造依赖于具有相同分歧集但不同不变量的除法代数，从而产生非共轭的算术格。
• 该方法可推广至在环 $R_0$ 上定义的同余子群，表明对任意非零理想 $I \lhd R_0$，有 $\mathrm{L}^2(G'_1(R_0,I) \backslash G(F)) \cong \mathrm{L}^2(G'_2(R_0,I) \backslash G(F)$，从而确保同谱性。
• 该结果与秩 2 情况下的 Reid 定理形成鲜明对比：在秩 2 中，同谱算术格必须共轭。