[论文解读] Division polynomials for twisted Edwards curves

Richard Moloney, Laura Hitt+1 more|ArXiv.org|Sep 12, 2008

Cryptography and Residue Arithmetic参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文为扭 Edwards 曲线引入了类似于 Weierstrass 形式的除法多项式，用于刻画曲线的 $n$-挠点。这些多项式是 $y$ 的有理函数，其系数属于 $\mathbb{Z}[a,d]$，在 $a \leftrightarrow -d$、$d \leftrightarrow -a$ 下具有对称性，并可通过其结构特性和 $y$ 的次数界小于 $n^2/2$ 实现高效计算。主要贡献在于利用这些多项式对挠点进行了完整刻画，提供了显式公式与系数对称性，从而降低了计算复杂度。

ABSTRACT

This paper presents division polynomials for twisted Edwards curves. Their chief property is that they characterise the $n$-torsion points of a given twisted Edwards curve. We also present results concerning the coefficients of these polynomials, which may aid computation.

研究动机与目标

• 开发一种类似于 Weierstrass 形式中的除法多项式理论，但适用于扭 Edwards 曲线。
• 利用这些多项式刻画扭 Edwards 曲线的 $n$-挠点。
• 分析除法多项式系数的代数结构与对称性，以降低计算成本。
• 建立扭 Edwards 曲线函数域上函数的唯一表示形式，类似于 Weierstrass 曲线中的 $p(u) + vq(u)$ 形式。
• 证明多项式满足对称性：$\tilde{\psi}_n(a,d,y) = \tilde{\psi}_n^*(-d,-a,y)$，该性质有助于高效求值。

提出的方法

• 在扭 Edwards 曲线的函数域上定义一列有理函数，随后将其表示为 $y$ 的多项式，其系数属于 $\mathbb{Z}[a,d]$。
• 通过证明每个函数可唯一表示为 $p(y) + x q(y)$，建立扭 Edwards 曲线函数域元素的唯一表示形式，该形式类比于 Weierstrass 形式的 $p(u) + vq(u)$。
• 利用群法则和与 Weierstrass 曲线的双有理等价性，推导除法多项式 $\tilde{\psi}_n(y)$ 的递推公式。
• 证明 $\tilde{\psi}_n(y)$ 在 $y$ 上的次数小于 $n^2/2$，并利用归纳法与对称性论证确定首项与常数项。
• 通过证明 $\tilde{\psi}_n(a,d,y) = \tilde{\psi}_n^*(-d,-a,y)$ 分析系数对称性，其中 $\tilde{\psi}_n^*$ 表示系数反转后的多项式。
• 利用扭 Edwards 曲线与 Weierstrass 曲线之间的双有理等价性，转移性质并验证除法多项式在坐标变换下的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为扭 Edwards 曲线定义除法多项式，以刻画 $n$-挠点，类似于 Weierstrass 情形？
• RQ2 除法多项式在扭 Edwards 曲线函数域上的函数形式与次数界是什么？
• RQ3 除法多项式的系数是否表现出可被用于提升计算效率的对称性？
• RQ4 扭 Edwards 曲线的函数域结构如何？是否每个有理函数均可唯一表示为类似 Weierstrass 情形的标准形式？
• RQ5 除法多项式在变换 $ (x,y) \mapsto (x, 1/y) $ 下的行为如何？这对系数对称性有何含义？

主要发现

• 扭 Edwards 曲线的除法多项式 $\tilde{\psi}_n(y)$ 是 $y$ 的多项式，其系数属于 $\mathbb{Z}[a,d]$，且在 $y$ 上的次数小于 $n^2/2$。
• 扭 Edwards 曲线的 $n$-挠点恰好是 $\tilde{\psi}_n(y) = 0$ 的点，从而实现了对挠点的直接刻画。
• 多项式满足对称性：$\tilde{\psi}_n(a,d,y) = \tilde{\psi}_n^*(-d,-a,y)$，其中 $\tilde{\psi}_n^*$ 为系数反转后的多项式，该性质可减少计算时间。
• 多项式 $\tilde{\psi}_n(y)$ 的首项与常数项由 $\epsilon(n)$、$m(n)$ 与 $k(n)$ 显式确定，其中 $\epsilon(n)$ 依赖于 $n \mod 8$，且当 $4 \mid n$ 时常数项为零。
• 当 $\text{char}(k) \neq 0$ 且 $4 \cdot \text{char}(k) \mid n$ 时，$\tilde{\psi}_n(y)$ 中最低次项的次数大于 1，表明多项式结构发生改变。
• 多项式 $\tilde{\psi}_n(y)$ 的每个系数 $\alpha_i$ 关于 $a$ 与 $d$ 是齐次的，总次数为 $m(n) - k(n)$，该性质支持了多项式的对称性与结构特征。