[论文解读] Divisors of Fourier coefficients of modular forms

Sanoli Gun, M. Ram Murty|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文研究了在 $̲\Gamma_0(N)̲$ 上，针对权 $k \geq 2$ 的归一化 Hecke 特征形式且具有整系数时，其傅里叶系数上的除数函数的平均阶。在广义黎曼猜想（GRH）下，本文证明了和式 $\sum_{p \leq x,\, a(p) \neq 0} d(a(p))$ 的渐近增长形式为 $x (\log x)^{A}$，其中常数 $A$ 依赖于形式的权 $k$，并利用切博泰列夫密度定理与解析数论方法得出了明确的界。

ABSTRACT

Let $d(n)$ denote the number of divisors of $n$. In this paper, we study the average value of $d(a(p))$, where $p$ is a prime and $a(p)$ is the $p$-th Fourier coefficient of a normalized Hecke eigenform of weight $k \ge 2$ for $Γ_0(N)$ having rational integer Fourier coefficients.

研究动机与目标

• 研究归一化 Hecke 特征形式（具有整系数）的 $p$ 阶傅里叶系数上除数函数 $d(a(p))$ 的平均阶。
• 在广义黎曼猜想（GRH）假设下，建立 $\sum_{p \leq x} d(a(p))$ 的渐近估计。
• 通过伽罗瓦表示与切博泰列夫密度定理分析 Hecke 特征值的因子分布，拓展模形式算术函数的研究结果。
• 探讨是否存在形如 $\sum_{p \leq x} d(a(p)) \sim Bx (\log x)^v$ 的渐近公式，其中 $v$ 可能为零。

提出的方法

• 利用与模形式相关的表示 $\rho_\delta$，将 $a(p) \equiv 0 \pmod{\delta}$ 与伽罗瓦扩张中的弗罗贝尼乌斯共轭类联系起来。
• 应用切博泰列夫密度定理，通过密度 $h(\delta) = |C_\delta| / |G_\delta|$ 估计 $\pi(x,\delta)$，即满足 $a(p) \equiv 0 \pmod{\delta}$ 且 $p \leq x$ 的素数个数。
• 采用弗里德兰德与伊万尼克对范德科普特方法的改进，通过短指数和对除数函数 $d(n)$ 进行控制。
• 利用狄利克雷级数 $F(s) = \sum d(n)^c h(n)/n^s$ 与 $G(s) = \sum d(n)^c / n^s$ 及其解析性质，通过复分析方法控制部分和。
• 在未假设完整 GRH 时，应用准 GRH 以获得较弱但仍有效的界。
• 结合 GRH 的误差项与 $Z(x)$（即满足 $a(p) = 0$ 的素数集合）的零密度估计，控制主和式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 GRH 下，$d(a(p))$ 在素数 $p$ 上的平均值是否可被渐近界定？
• RQ2 是否存在形如 $\sum_{p \leq x} d(a(p)) \sim Bx (\log x)^v$ 的渐近公式，其中 $B$ 与 $v$ 为常数？
• RQ3 满足 $a(p) \equiv 0 \pmod{\delta}$ 的素数密度 $h(\delta)$ 如何变化，其在估计除数和中起何作用？
• RQ4 在保持对除数函数和的幂对数界的前提下，GRH 的全部强度在多大程度上可被弱化？

主要发现

• 在 GRH 下，有 $\sum_{p \leq x,\, a(p) \neq 0} d(a(p)) \ll x (\log x)^{2^c - 1}$，其中常数 $c > 0$ 依赖于权 $k$。
• 下界满足 $\sum_{p \leq x,\, a(p) \neq 0} d(a(p)) \gg x$，表明该和至少以线性速度随 $x$ 增长。
• 切博泰列夫密度估计中的误差项为 $O(\delta^3 x^{1/2} \log(\delta N x))$，这对控制 $\delta$ 上的和至关重要。
• 狄利克雷级数 $F(s) = \sum d(n)^c h(n)/n^s$ 满足 $\sum_{n \leq z} d(n)^c h(n) \ll (\log z)^{2^c}$，从而实现对部分和的有效控制。
• 通过 $G(s) = \sum d(n)^c / n^s$ 建立了 $\sum_{n \leq z} d(n)^c \ll z (\log z)^{2^c}$，该级数在 $\Re(s) \geq 1$ 上解析。
• 即使在准 GRH 假设下，结果依然成立，此时可得到形如 $x (\log x)^A$ 的界，但显式常数较弱。