[论文解读] Do Black Holes Exist in a Finite Universe Having the Topology of a Flat 3-Torus?

Frank Steiner|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2016

Galaxies: Formation, Evolution, Phenomena参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文提出，在有限、平坦的三维环状空间（3-torus）宇宙中，黑洞可能存在，方法是利用Appell与Epstein zeta函数对发散的镜像法进行正则化，推导出爱因斯坦方程在静态、非旋转恒星情况下的首阶解。该解揭示了一个拓扑暗能量项 Λ_top > 0，导致排斥力与各向异性的引力场，违反Birkhoff定理，并暗示存在具有6个参数（质量、体积及5个Teichmüller参数）的'毛发'黑洞。

ABSTRACT

Based on perturbation theory, we present the exact first-order solution to the Einstein equations for the exterior static gravitational field of an isolated non-rotating star in a spatially finite universe having the topology of a flat 3-torus. Since the method of images leads to a divergent Poincare' series, one needs a regularization which we achieve by using the Appell respectively the Epstein zeta function. The solution depends on a new positive constant which is completely fixed by the mass of the star and the spatial volume of the universe. The physical interpretation is that a stable or metastable equilibrium requires a topological dark energy which fills the whole universe with positive energy density and negative pressure. The properties of the gravitational field are discussed in detail. In particular, its anisotropy is made explicit by deriving an exact multipole expansion which shows that in this case Birkhoff's theorem does not hold. While the monopole describes the Newtonian potential, there is no dipole but always a non-vanishing quadrupole which leads to a repulsive force experienced by a planet at rest. Finally, we put forward the conjecture that black holes exist in a toroidal universe and that their gravitational field is in the weak-field limit well approximated by the first-order field.

研究动机与目标

• 探究在具有平坦3-环面拓扑的有限空间中，黑洞是否可能存在，从而挑战无限平坦空间的标准假设。
• 通过应用Appell与Epstein zeta函数对正则化，解决在紧致宇宙中镜像法产生的发散问题。
• 推导此类拓扑下非旋转恒星的首阶外部引力场，并确定其物理意义。
• 检验Birkhoff定理在环面宇宙中是否成立，并探讨是否存在由拓扑引起的'毛发'黑洞。
• 提出一种源于全局拓扑的拓扑暗能量机制，其具有可观测的各向异性引力效应。

提出的方法

• 使用广义相对论中的首阶微扰理论，求解有限、平坦的3-环面宇宙中恒星的爱因斯坦场方程。
• 应用镜像法建模引力势，但通过Appell与Epstein的zeta函数对产生的发散Poincaré级数进行正则化。
• 推导出满足 R_μν = -Λ_top g_μν 的度规解，其中 Λ_top 是由质量 M 和空间体积 |Ω| 决定的正常数。
• 对引力势进行多极展开，揭示偶极项为零，而四极项非零。
• 定义一个迹为零的四极张量 D̂_kl，以分离场的各向异性的部分，并分析其受力贡献。
• 推测在环面宇宙中，全黑洞解在远场区域可由该弱场解良好近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致、平坦的3-环面宇宙中，镜像法是否会产生有限的引力势，还是仍会发散？
• RQ2 能否在有限、拓扑非平凡的宇宙中，为恒星导出爱因斯坦方程的一致首阶解？
• RQ3 由于拓扑引起的各向异性，所得引力场是否违反Birkhoff定理？
• RQ4 在此背景下，有效宇宙学常数 Λ_top 的物理起源与本质是什么？
• RQ5 由于拓扑的存在，环面宇宙中的黑洞是否可能具有超越质量的额外参数（即'毛发'）？

主要发现

• 引力场解满足 R_μν = -Λ_top g_μν，且 Λ_top > 0，表明存在拓扑暗能量密度 ε_top ∼ Λ_top 与负压强 p_top = -ε_top。
• 单极项对应牛顿势，而首个非零的多极项为四极场 Φ_Q(x) = - (Λ_top c² / 6) r² - GM ∑_{k,ℓ} D̂_kℓ x_k x_ℓ。
• 存在一个与恒星质量无关的排斥性中心力 ∼ (Λ_top c² / 3) r，其仅源于拓扑常数 Λ_top。
• 由迹为零张量 D̂_kℓ 产生的各向异性力通常非零，且依赖于环面的形状，仅在对称情况（如立方环面）下为零。
• 该解明确破坏了全局旋转对称性，表明Birkhoff定理在3-环面宇宙中不成立。
• 作者推测，此类宇宙中的黑洞将具有'毛发'，其特征为质量 M、空间体积 |Ω| 及5个Teichmüller参数，与Schwarzschild黑洞根本不同。