[论文解读] Does Ten Have a Friend?

J. Ward|ArXiv.org|Jun 5, 2008

graph theory and CDMA systems参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文研究10是否具有一个‘朋友’——即一个与之不同的正整数，其 abundancy index $ I(n) = \sigma(n)/n = 9/5 $。通过利用 abundancy index 的基本性质及质因数分解的约束条件，证明了任何此类朋友必须是一个奇数的完全平方数，且至少包含六个不同的质因数，其中最小的质因数为5，并且至少存在一个满足 $ p \equiv 1 \pmod{3} $ 的质因数，其指数满足 $ \equiv 2 \pmod{6} $。

ABSTRACT

Any positive integer $n$ other than 10 with abundancy index 9/5 must be a square with at least 6 distinct prime factors, the smallest being 5. Further, at least one of the prime factors must be congruent to 1 modulo 3 and appear with an exponent congruent to 2 modulo 6 in the prime power factorization of $n$.

研究动机与目标

• 确定是否存在一个正整数 $ n \neq 10 $，使得 $ I(n) = I(10) = 9/5 $（即10是否为友好数）
• 刻画任何满足 $ I(n) = 9/5 $ 且 $ n \neq 10 $ 的整数 $ n $ 的结构特性，特别是其质因数分解与可除性约束
• 确立此类朋友（若存在）必须为奇数的完全平方数，且至少包含六个不同的质因数，其中最小者为5
• 推导出质因数中满足 $ \equiv 1 \pmod{3} $ 的质因数的指数所必须满足的模运算条件，特别是在10的潜在朋友的质因数分解中
• 通过案例分析与 abundancy 函数的界分析，排除具有少于六个不同质因数的此类朋友的存在可能性

提出的方法

• 应用 abundancy index $ I(n) = \sigma(n)/n $ 的弱乘性，使其可在互质因子上分解
• 利用条件 $ I(n) = 9/5 $ 推导出 $ 5\sigma(n) = 9n $，从而推出 $ 5 \mid n $，并因此有 $ 2 \nmid n $，以避免被10整除
• 利用若 $ n $ 与 $ \sigma(n) $ 均为奇数，则 $ n $ 必为完全平方数这一事实，如除数和公式所示
• 使用不等式 $ I(n) < \prod_{p \mid n} \frac{p}{p-1} $ 对 $ I(n) $ 建立上界，以限制可能的小质因数组合
• 对不同质因数个数 $ k $ 进行案例分析，通过验证所有最小可能质数的组合下 $ I(n) < 9/5 $，证明 $ k \geq 6 $
• 分析 $ 9 \mid \sigma(n) $ 的条件，推导出至少存在一个质因数 $ p \equiv 1 \pmod{3} $，且其指数必须满足 $ 2e_i \equiv 2 \pmod{6} $，即 $ e_i \equiv 1 \pmod{3} $

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个正整数 $ n \neq 10 $，使得 $ I(n) = I(10) = 9/5 $？（即10是否为友好数？）
• RQ2 任何此类朋友 $ n $ 的质因数分解需满足哪些结构约束？
• RQ3 为何10的友好数不可能拥有少于六个不同的质因数？
• RQ4 10的友好数的质因数分解中，满足 $ \equiv 1 \pmod{3} $ 的质因数的指数需满足何种模运算条件？
• RQ5 能否通过仅含有限个不同质因数的整数序列，使 abundancy index $ I(n) $ 无限接近 $ 9/5 $？这又对‘理论上的朋友’意味着什么？

主要发现

• 任何满足 $ I(n) = 9/5 $ 且 $ n \neq 10 $ 的整数 $ n $ 必为奇数的完全平方数，因为 $ n $ 与 $ \sigma(n) $ 均为奇数
• 此类 $ n $ 的最小质因数必须为5，且 $ n $ 至少包含六个不同的质因数
• 若 $ n $ 恰好包含一个满足 $ p \equiv 1 \pmod{3} $ 的质因数，则该质因数在 $ n $ 的质因数分解中的指数必须满足模18同余于8
• 当 $ k \leq 5 $ 个不同质因数时，对所有最小可能质数的组合，abundancy index $ I(n) $ 严格小于 $ 9/5 $，因此可排除此类情况
• 必须至少存在一个质因数 $ p \equiv 1 \pmod{3} $ 整除 $ n $，且其指数必须满足 $ 2e_i \equiv 2 \pmod{6} $，即 $ e_i \equiv 1 \pmod{3} $，以确保 $ 3 \mid \sigma(n) $
• 本文通过序列 $ (3^k \cdot 5) $ 构造出10的一个理论上的朋友，满足 $ \lim_{k \to \infty} I(3^k \cdot 5) = 9/5 $，表明仅使用两个不同质因数，此类朋友可渐近逼近