[论文解读] Does the Multisecretary Problem Always Have Bounded Regret?

Robert Bray|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Optimization and Search Problems参考文献 4被引用 2

一句话总结

本文研究了当申请者估值为标准均匀分布的独立同分布时，多秘书问题中的遗憾。通过将遗憾分解为期望短期遗憾的和，证明了当 k = n/2 时，遗憾随 n 对数增长，建立了 n ≥ 16 时 log(n)/16 - 1/4 与 log(n+1)/8 之间的界限，从而表明在此设定下遗憾无界——与先前在有限支持下的结果相反。

ABSTRACT

Arlotto and Gurvich (2019) showed that the regret in the multisecretary problem is bounded in the number of job openings, $ n $, and the number of applicants, $ k $, provided that the applicant valuations are drawn from a distribution with finite support. I show that this result does not hold when applicant valuations are drawn from a standard uniform distribution. In this case, the regret is between log(n)/16 - 1/4 and log(n+1) / 8, when k = n/2 and n >= 16. I establish these bounds by decomposing the regret into a sum of expected myopic regrets. This decomposition also yields a shorter proof of Arlotto and Gurvich's original result.

研究动机与目标

• 检验当申请者估值来自标准均匀分布时，多秘书问题中的遗憾是否保持有界。
• 挑战 Arlotto 和 Gurvich（2019）的有界遗憾结果，该结果仅在有限支持下成立。
• 在均匀独立同分布估值下，当 k = n/2 且 n ≥ 16 时，建立遗憾的紧致界限。
• 通过将遗憾分解为期望短期遗憾，提供 Arlotto 和 Gurvich 原始结果的更简短证明。

提出的方法

• 将总遗憾分解为期望短期遗憾之和，其中每一项对应单一步骤的遗憾。
• 分析在均匀独立同分布估值下短期遗憾的结构，以推导渐近界限。
• 使用概率分析和顺序统计方法，对次优雇佣决策的期望损失进行界定。
• 应用集中与尾部不等式技术，控制 n/2 个雇佣步骤中短期遗憾的总和。
• 通过聚合所有阶段的期望短期遗憾，推导出总遗憾的上下界。
• 利用相同的分解方法重构 Arlotto 和 Gurvich 有界遗憾结果的证明，证明其普适性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当申请者估值为标准均匀分布的独立同分布时，多秘书问题是否表现出有界遗憾？
• RQ2 在均匀独立同分布估值下，当 k = n/2 且 n ≥ 16 时，遗憾的最紧可能界限是什么？
• RQ3 将遗憾分解为期望短期遗憾是否能提供有限支持下有界遗憾结果的更简明证明？
• RQ4 当估值来自具有无限支持的连续分布时，遗憾如何随 n 变化？

主要发现

• 当申请者估值为标准均匀分布的独立同分布且 k = n/2 时，对于 n ≥ 16，遗憾下界为 log(n)/16 - 1/4。
• 当 k = n/2 且 n ≥ 16 时，遗憾上界为 log(n+1)/8。
• 遗憾随 n 对数增长，表明随着 n 增大，遗憾无界，与有限支持下的有界遗憾结果相矛盾。
• 将遗憾分解为期望短期遗憾提供了 Arlotto 和 Gurvich 原始有界遗憾结果的清晰简洁证明。
• 分析表明，有界与无界遗憾之间的关键差异在于估值分布的尾部行为。
• 这些界限是紧致的，且直接源于均匀独立同分布到达下序列选择中短期决策遗憾的结构。