[论文解读] Dolbeault cohomologies of blowing up complex manifolds

Sheng Rao, Song Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文通过引入相对 Dolbeault 上同调，建立了紧致复流形的 Dolbeault 上同调的爆破公式，证明了爆破空间 ˜X 的 Dolbeault 上同调同构于原始上同调与中心上的扭曲上同调的直和。关键结果为 Hp,q(˜X) ≅ Hp,q(X) ⊕ ⨁_{i=1}^{r−1} Hp−i,q−i(Z)，该结果表明 (p,0) 和 (0,q)-Hodge 数在双全纯变换下保持不变，并意味着在紧致复三维与四维流形上 Fr"olicher 族谱序列的退化性稳定。

ABSTRACT

We prove a blow-up formula for Dolbeault cohomologies of compact complex manifolds by introducing relative Dolbeault cohomology. As corollaries, we present a uniform proof for bimeromorphic invariance of $(\bullet,0)$- and $(0,\bullet)$-Hodge numbers on a compact complex manifold, and obtain the equality for the numbers of the blow-ups and blow-downs in the weak factorization of the bimeromorphic map between two compact complex manifolds with equal $(1,1)$-Hodge number or equivalently second Betti number. Many examples of the latter one are listed. Inspired by these, we obtain the bimeromorphic stability for degeneracy of the Frölicher spectral sequences at $E_1$ on compact complex threefolds and fourfolds.

研究动机与目标

• . 通过相对 Dolbeault 上同调建立紧致复流形的 Dolbeault 上同调的爆破公式。
• . 统一证明 (p,0) 与 (0,q)-Hodge 数在紧致复流形上为双全纯不变量。
• . 分析爆破操作与 Hodge 数之间的关系，尤其在弱因子分解的背景下。
• . 探究在紧致复三维与四维流形上，双全纯映射下 Fr"olicher 族谱序列的退化性。
• . 提供一个统一框架，以理解复几何中修改操作下的上同调不变量。

提出的方法

• . 引入相对 Dolbeault 上同调 Hp,q(¯∂; X, Z) 作为分析爆破下上同调变化的工具。
• . 应用 Cordero 的 Hirsch 引理推导 Dolbeault 上同调的爆破公式。
• . 利用 de Rham 复形的短正合序列的交换图，关联 X、˜X、Z 与 E 的上同调。
• . 利用同调群同构 H•_dR,c(U) ≅ H•_dR(X,Z) 以及紧支集形式的拟同构关系，关联不同上同调群。
• . 使用 Leray-Hirsch 定理，将例外除子 E 的上同调描述为 H•_dR(Z)-上的自由模，基为 {1, t, ..., tr−1}。
• . 利用 π∗ 在 de Rham 上同调上的单射性（基于 [54, 定理 3.1]）推导出 de Rham 情形下的直和分解，从而启发 Dolbeault 情形的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 . 紧致复流形的 Dolbeault 上同调在双全纯映射下是否保持不变，特别是在爆破操作下？
• RQ2 . (p,0)-Hodge 数 hp,0 是否为紧致复流形的双全纯不变量？
• RQ3 . 在紧致复三维与四维流形上，Fr"olicher 族谱序列在 E1 项的退化性是否在双全纯变换下保持不变？
• RQ4 . 是否能通过相对上同调与 Hirsch 型引理统一推导出 Dolbeault 上同调的爆破公式？
• RQ5 . 两个双全纯等价的紧致复流形的 Hodge 数之间的确切关系为何？

主要发现

• . 建立了 Dolbeault 上同调的爆破公式：对于余维数 r ≥ 2 的光滑中心的爆破，有 Hp,q(˜X) ≅ Hp,q(X) ⊕ ⨁_{i=1}^{r−1} Hp−i,q−i(Z)。
• . (p,0)-与 (0,q)-Hodge 数为双全纯不变量，提供了该经典结果的统一证明。
• . 在第二贝蒂数相等的紧致复流形之间的双全纯映射的弱因子分解中，爆破与反爆破的次数相等。
• . 在紧致复三维与四维流形上，双全纯映射下 Fr"olicher 族谱序列在 E1 项退化。
• . 相对 Dolbeault 上同调满足 Hp,q(¯∂; X, Z) ≅ Hp,q(¯∂; ˜X, E)，通过爆破映射 π 成立。
• . de Rham 爆破公式作为副产品被恢复，确认了同构 Hk_dR(˜X) ≅ Hk_dR(X) ⊕ ⨁_{i=1}^{r−1} Hk−2i_dR(Z)。