[论文解读] Domain Agnostic Fourier Neural Operators

Ning Liu, Siavash Jafarzadeh+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2023

Non-Destructive Testing Techniques被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种新型神经算子架构——域无关傅里叶神经算子（DAFNO），通过使用平滑的特征函数显式编码不规则域边界，利用快速傅里叶变换（FFT）在复杂且动态演变的几何结构上实现高效且精确的PDE解算子学习。DAFNO在材料建模和机翼模拟基准测试中达到最先进性能，并仅需一个训练裂纹样本即可泛化至未见过的裂纹模式和载荷条件。

ABSTRACT

Fourier neural operators (FNOs) can learn highly nonlinear mappings between function spaces, and have recently become a popular tool for learning responses of complex physical systems. However, to achieve good accuracy and efficiency, FNOs rely on the Fast Fourier transform (FFT), which is restricted to modeling problems on rectangular domains. To lift such a restriction and permit FFT on irregular geometries as well as topology changes, we introduce domain agnostic Fourier neural operator (DAFNO), a novel neural operator architecture for learning surrogates with irregular geometries and evolving domains. The key idea is to incorporate a smoothed characteristic function in the integral layer architecture of FNOs, and leverage FFT to achieve rapid computations, in such a way that the geometric information is explicitly encoded in the architecture. In our empirical evaluation, DAFNO has achieved state-of-the-art accuracy as compared to baseline neural operator models on two benchmark datasets of material modeling and airfoil simulation. To further demonstrate the capability and generalizability of DAFNO in handling complex domains with topology changes, we consider a brittle material fracture evolution problem. With only one training crack simulation sample, DAFNO has achieved generalizability to unseen loading scenarios and substantially different crack patterns from the trained scenario. Our code and data accompanying this paper are available at https://github.com/ningliu-iga/DAFNO.

研究动机与目标

• 解决标准傅里叶神经算子（FNOs）因依赖矩形、均匀结构化网格而难以在FFT基础上实现高效计算的局限性。
• 克服在不规则域或拓扑变化中应用零填充或掩码技术时产生的不稳定与不准确问题。
• 实现学习到的算子对未见过的域几何形状和拓扑演化（如具有分叉的裂纹扩展）的泛化能力。
• 开发一种保留FFT计算效率的同时显式编码几何边界信息的神经算子架构。
• 在涉及复杂且动态演变域的多样化科学计算问题中，展示该方法的鲁棒性与表达能力。

提出的方法

• 引入平滑的特征函数来表示域边界，并将其直接嵌入FNO的积分层中。
• 修改FNO层，使其仅在物理域内执行谱卷积，切断域外的非物理交互。
• 保持核的卷积形式，以通过快速傅里叶变换（FFT）维持计算效率。
• 提出两种变体：eDAFNO（基于显式FNO）和iDAFNO（基于隐式FNO），在精度与效率之间取得平衡。
• 应用边界平滑技术，以减轻吉布斯现象并提升域边缘的数值稳定性。
• 在不规则域上输入-解场函数对的端到端训练中，通过使用随机正弦场进行数据增强，以提升泛化能力。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使傅里叶神经算子在保持FFT效率的同时，对任意不规则域几何形状具有鲁棒性？
• RQ2 如何在神经算子中显式编码几何边界信息，以提升对未见域形状和拓扑变化的泛化能力？
• RQ3 仅通过一个裂纹扩展过程的训练样本，能否实现对不同载荷条件下多种裂纹模式的准确预测？
• RQ4 在动态演变域上，与使用掩码或填充的标准FNO相比，所提方法在稳定性和准确性方面表现如何？
• RQ5 该模型在未见训练阶段的边界条件和域拓扑结构方面，其泛化能力能达到何种程度？

主要发现

• DAFNO在超弹性材料建模和机翼模拟的基准数据集上达到最先进精度，优于基线神经算子模型。
• 仅使用一个4 MPa载荷下裂纹扩展场景的训练样本，eDAFNO即可泛化至未见载荷大小（2 MPa和6 MPa），准确预测包括分叉和快速扩展在内的不同裂纹模式。
• eDAFNO在长时间模拟中保持稳定预测，而使用掩码的标准FNO因掩码分布偏移而早期即出现不稳定。
• 在所有测试场景中，eDAFNO在特征函数和位移场中的相对误差均保持较低水平，表明其在捕捉动态域拓扑演化方面具有高保真度。
• iDAFNO在数据有限时表现出更优的计算效率和更低的过拟合风险，而eDAFNO实现了略高的精度。
• 边界平滑技术有效缓解了吉布斯现象，并提升了域边界处的数值稳定性。