[论文解读] Domain of Inverse Double Arcsine Transformation

Jong‐Hyeon Jeong|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2018

Molecular spectroscopy and chirality被引用 4

一句话总结

本文分析了反双反正弦变换的定义域和值域，识别出在小样本中接近 0 和 1 时的不规则行为。提出基于样本量的近似方法，并引入最大百分误差（MPE）度量以量化准确性，从而实现元分析中比例反变换所需精度的样本量确定。

ABSTRACT

To combine the proportions from different studies for meta-analysis, Freeman and Tukey double arcsine tranformation can be useful for normalization and variance stabilization. The inverse function of the double arcsine transformation has been also derived in the literature to recover the original scale of the proportion after aggregation. In this brief note, we present the domain and range of the inverse double arcsine transformation both analytically and graphically. We notice an erratic behavior in the mathematical formula for the inverse double arcsine tranformation at both limits of its domain, and propose approximation methods for both small and large samples. We also propose a simple accuracy measure, the maximum percent error (MPE), of the large sample approximation, which can be used to determine the sample size that would provide a certain accuracy level, and conversely to determine the accuracy level of the approximation given a sample size.

研究动机与目标

• 澄清有限样本量下反双反正弦变换的定义域和值域，特别是接近 0 和 1 时的情况。
• 解决反变换公式在定义域边界处的数值不稳定性问题。
• 提出一种灵活的、基于样本量的近似方法，适用于小样本和大样本。
• 引入最大百分误差（MPE）度量，以评估大样本近似方法的准确性。
• 提供一种实用工具，用于确定实现元分析中目标精度水平所需的样本量。

提出的方法

• 基于原始双反正弦变换，解析推导反双反正弦变换的定义域和值域。
• 识别出在接近 0 和 1 时反公式存在不规则行为，尤其在小样本 n 下，提出边界截断：低于下限时 p(θ) = 0，高于上限时 p(θ) = 1。
• 提出最大百分误差（MPE）作为样本量 n 的函数，以量化双反正弦与极限反正弦形式之间的偏差。
• 推导出所需样本量 n 的闭式方程，作为期望 MPE 水平 ε 的函数：n = tan²(π(1/2 − ε))。
• 对大样本使用极限反函数 sin²(θ)，当 n → ∞ 时有效。
• 通过计算特定 n 值下的 MPE 值（例如 n = 200 → MPE = 2.2%，n = 500 → MPE = 1.4%）验证 MPE 度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于有限样本量，反双反正弦变换的正确定义域和值域是什么？
• RQ2 为什么反变换公式在接近 0 和 1 时表现出不规则行为，如何修正这一问题？
• RQ3 如何在不同样本量下定量衡量大样本近似（sin²(θ)）的准确性？
• RQ4 需要多大的样本量才能在反变换近似中实现预设的精度水平？
• RQ5 如何利用 MPE 度量确定给定样本量下近似的精度水平？

主要发现

• 反双反正弦变换在其定义域两端（接近 0 和 1）表现出不规则行为，尤其在小样本 n 下，需进行边界调整。
• 对于小样本，反函数应在低于下限定义域边界时截断为 0，在高于上限时截断为 1，以保证原始比例的一一对应恢复。
• 双反正弦与其极限反正弦形式之间的最大百分误差（MPE）在 p = 1 处最大，其表达式为 δ(1) = 1/2 − (1/π)sin⁻¹(√(n/(n+1)))。
• 为实现目标 MPE 水平 ε 所需的样本量为 n = tan²(π(1/2 − ε))，当 ε → 0 时 n 趋近于无穷大。
• 当 n = 200 时，MPE 为 2.2%；当 n = 500 时，MPE 为 1.4%，表明误差随样本量增加而减小。
• MPE 度量可同时用于正向规划（确定实现目标精度所需的 n）和反向评估（确定给定 n 下的精度水平），为元分析提供实用工具。